МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ. Исследование зависимостей и взаимосвязей между объективно существующими явлениями и процессами играет в развитии эконо­мики значительную роль

Исследование зависимостей и взаимосвязей между объективно существующими явлениями и процессами играет в развитии эконо­мики значительную роль. Оно позволяет глубже понять сложный механизм причинно-следственных отношений. В настоящее вре­мя важно уметь количественно измерить тесноту причинно-след­ственных связей и выявить форму связи между экономическими процессами. Для исследования интенсивности, вида и формы при­чинных связей широко применяется корреляционный и регресси­онный анализ. Выявление количественных соотношений дает воз­можность лучше понять природу исследуемого явления. Это, в свою очередь, позволяет воздействовать на изученные факторы, вмешиваться в соответствующий процесс с целью получения нуж­ных результатов.

Но, чтобы глубоко и основательно проникнуть в суть явления, необходимо исследовать и раскрыть его причинные связи, его от­ношения с другими явлениями. Под причинной связью понимают такую связь, когда изменение одних процессов есть следствие изме­нения других. Обычно одно и то же экономическое явление высту­пает как результат, следствие, эффект одной или нескольких при­чин. Вместе с тем оно служит причиной наступления других явле­ний или процессов. Раскрытие объективно существующих причин­ных зависимостей приводит исследователя к источнику зарожде­ния отдельных процессов.

Признание факта множественности причин и следствий в реаль­ной действительности нашло свое отражение и при исследовании закономерностей в экономике. Так, на величину себестоимости еди­ницы продукции влияют объем производства, используемая техно­логия и уровень производительности труда. Производительность труда, которая служит причиной формирования себестоимости, в свою очередь является следствием таких причин, как уровень раз­вития техники и подготовки работников, эффективность использо­вания парка оборудования и т. д. Урожайность сельскохозяйствен­ных культур зависит от состояния почвы, состава и количества вне­сенных удобрений, метеорологических условий и других не менее важных причин.

Один из важных признаков причинной связи - это соблюдение временной последовательности причины и следствия. Причина все­гда предшествует следствию. Однако не всякое предшествующее событие служит подлинной причиной появления последующего. Поэтому для правильного понимания причинно-следственных от­ношений большую опасность представляют совпадения явлений и одновременно развивающиеся процессы. Например, увеличение числа онкологических заболеваний за последние 10 лет ни в коей мере не является причиной спада промышленного производства за тот же период времени.

Следует также отметить, что статистический анализ требует та­кого обязательного условия, как повторяемость явления. Ведь толь­ко наличие достаточно большого числа наблюдений обеспечивает практическую возможность выявления связи. Это обусловлено тем, что причинному действию и определяемому им следствию прису­ща в той или иной степени случайность. Большинство экономичес­ких процессов представляют собой результат множества одновре­менно действующих причин. Каждый процесс при повторении его причинного комплекса за счет случайности реализуется с отклоне­нием от закона, лежащего в его основе.

Различают два вида зависимости между экономическими явле­ниями: функциональную и статистическую. Зависимость между дву­мя величинами отображающими соответственно два явле­ния, называется функциональной, если каждому значению величины X соответствует единственное значение величины Y и наоборот. Примером функциональной связи в экономике может служить за­висимость производительности труда от объема произведенной продукции и затрат рабочего времени. При этом следует отметить, что если Х- детерминированная, не случайная величина, то и фун­кционально зависящая от нее величина У тоже является детерми­нированной. Если же Х- величина случайная, то и Y также случай­ная величина.

Однако гораздо чаще в экономике имеет место не функциональ­ная, а статистическая зависимость, когда каждому фиксирован­ному значению независимой переменой X соответствует не одно, а множество значений зависимой переменной Y, причем заранее нельзя сказать, какое именно значение примет Y. Это связано с тем, что на Y кроме переменной X влияют и многочисленные неконт­ролируемые случайные факторы. В этой ситуации Y является слу­чайной величиной, а переменная X может быть как детерминиро­ванной, так и случайной величиной. Частным случаем статистичес­кой зависимости является корреляционная зависимость, при кото­рой функциональной зависимостью связаны фактор X и среднее значение (математическое ожидание) результативного показателя Y. Статистическая зависимость может быть выявлена лишь по ре­зультатам достаточно большого числа наблюдений. Графически статистическая зависимость двух признаков может быть представ­лена с помощью поля корреляции, при построении которого на оси абсцисс откладывается значение факторного признака X, а по оси ординат - результирующего Y.

В качестве примера на рис. 7.1 представлены данные, иллюстри­рующие прямую зависимость между х и у (рис. 7.1, a) и обратную зависимость (рис. 7.1, б). В случае «а» это прямая зависимость меж­ду, к примеру, среднедушевым доходом (х) и сбережением (у) в се­мье. В случае «б» речь идет об обратной зависимости. Такова, на­пример, зависимость между производительностью труда (х) и себе­стоимостью единицы продукции (у).

 

y y

x x

а б

 

Рис. 7.1. Поле корреляции

На рис. 7.1 каждая точка ха­рактеризует объект наблюдения со своими значениями х и у.

На рис. 7.1 также представлены прямые линии, линейные урав­нения регрессии типа , характеризующие функциональ­ную зависимость между независимой переменной и средним зна­чением результативного показателя у. Таким образом, по уравнению регрессии, зная х, можно восстановить лишь среднее значение у.

Ставя задачу статистического исследования зависимостей, важ­но хорошо представлять конечную прикладную цель построения моделей статистической зависимости между результативным по­казателем у с одной стороны и объясняющими переменными , с другой (до сих пор рассматривалась только одна объясняющая переменная х). Отметим две основных цели подоб­ных исследований.

Первая из них состоит в установлении самого факта наличия (или отсутствия) статистически значимой связи между У и X. При та­кой постановке задачи статистический вывод имеет альтернатив­ную природу - «связь есть» или «связи нет». Он обычно сопровож­дается лишь численной характеристикой - измерителем степени тесноты исследуемой зависимости. Задача оценки степени тесно­ты связи между показателями решается методами корреляционного анализа. При этом выбор формы связи между результативным пока­зателем у и объясняющими переменными , а также выбор состава последних играет вспомогательную роль, призванную максимизировать характеристику степени тесноты связи.

Вторая цель сводится к прогнозу, восстановлению неизвестных индивидуальных или средних значений результативного показателя «y» по заданным значениям объясняющих переменных.

Задача восстановления средних значений результативного по­казателя «у» по заданным значениям объясняющих переменных ре­шается методами регрессионного анализа. При этом выбор формы и вида зависимости «у» от объясняющих переменных на­целен на минимизацию суммарной ошибки, т. е. отклонений на­блюдаемых значений у от значений, полученных по регрессионной модели.

Таким образом, в задачах исследования зависимостей использу­ются методы корреляционного и регрессионного анализов. При этом методы корреляционного анализа применяют на этапе пред­варительной обработки информации, результаты которого исполь­зуют в регрессионном анализе при построении и анализе свойств уравнения регрессии. Выбор тех или иных методов анализа во мно­гом определяется природой изучаемых переменных, шкалой в ко­торой они измерены.

Количественные переменные позволяют измерять степень про­явления изучаемого свойства объекта (денежный доход и сбереже­ния семьи, объем валовой продукции, численность работников на предприятии и т. п.). Порядковые (или ординальные) переменные по­зволяют упорядочивать анализируемые объекты по степени прояв­ления в них изучаемого свойства (уровень жилищных условий се­мьи, квалификационный разряд рабочего, уровень образования работника и т. п.). Наконец, классификационные (или номинальные)переменные дают возможность разбивать обследованную совокуп­ность объектов на не поддающиеся упорядочиванию однородные клас­сы (профессия работника, мотив миграции семьи, отрасль промыш­ленности и т. п.).

Теперь рассмотрим приемы и методы, позволяющие установить наличие связи между исследуемыми переменными, выявить струк­туру этих связей и измерить их тесноту. Поскольку перечисленные задачи решаются с помощью вычисления и анализа соответствую­щих корреляционных характеристик, совокупность используемых для этих целей методов называют корреляционным анализом.

Корреляционный анализ разработан К. Пирсоном и Дж. Юлом. Он призван прежде всего ответить на вопрос, как выбрать с учетом специфики и природы анализируемых переменных подходящий из­меритель статистической связи ( коэффициент корреляции, корреляционное отношение, ранговый коэффициент корреляции и т. д.) Далее предстоит решить задачу, как оценить его числовые значе­ния по имеющимся выборочным данным. Корреляционный анализ позволяет найти методы проверки того, что полученное числовое значение анализируемого измерителя связи действительно свиде­тельствует о наличии статистической связи. Наконец, он помогает определить структуру связей между исследуемыми k признаками , сопоставив каждой паре признаков ответ («связь есть» или «связи нет»).

Корреляционный анализ количественных признаков. Одним из основных показателей взаимозависимости двух случайных величин является парный коэффициент корреляции, служащий мерой линей­ной статистической зависимости между двумя величинами. Этот показатель соответствует своему прямому назначению, когда ста­тистическая связь между соответствующими признаками в генераль­ной совокупности линейна. То же самое относится к частным и множественным коэффициентам корреляции.

Парный коэффициент корреляции, характеризующий тесноту связи между случайными величинами х и у, определяется по фор­муле:

(7.1)

где и -математические ожидания величин х и у, а их среднеквадратические отклонения.

Парный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1, то есть -1 < < +1. При этом между величинами х и у связь функциональная (прямая - при =+1 и обратная - при = -1). Если же = 0, то между величинами х и у линейная связь отсутствует и они называются некоррелированными.

Содержательная интерпретация коэффициента корреляции при­ведена в

табл. 7.1.

Таблица 7.1 Содержательная интерпретация коэффициента корреляции

 

Значение	Связь	Интерпретация связи
ρ = 0	Отсутствует	Отсутствует линейная связь между величинами х и у
0 < ρ < 1	Прямая	С увеличением х величина у в среднем увеличивается и наоборот
-1 < ρ < 0	Обратная	С увеличением х величина у в среднем уменьшается и наоборот
ρ = +1 ρ = -1	Функциональная	Каждому значению х соответствует одно строго определенное значение величины у и наоборот

 

Коэффициент корреляции, определяемый (7.1), относится к ге­неральной совокупности и как всякий параметр генеральной сово­купности нам не известен. Его можно лишь оценить по результа­там выборочных наблюдений.

Выборочный парный коэффициент корреляции, найденный по вы­борке объемом п, где результат i-го наблюдения i = 1, 2,..., п, определяется по формуле:

(7.2)

 

где ; , a ; (7.3)

 

Формула (7.2) симметрична, т.е. r _ху= r_ух =r. Если в ее числителе раскрыть скобки, то после несложных преобразований получим формулу, которую широко используют при вычислении коэффи­циента корреляции.

(7.4)

 

где - средняя арифметическая произведения двух величин, т. е.

(7.5)

Выборочный коэффициент корреляции r, как всякая выбороч­ная характеристика, является случайной величиной, и по отдель­ным его значениям нельзя делать окончательные выводы о степени тесноты линейной связи между двумя величинами. Здесь речь мо­жет идти о некоторых практических, качественных рекомендациях (табл. 7.2) при достаточно больших n (n > 40).

В табл. 7.2 значения rрассматриваются по модулю, так как сте­пень тесноты связи зависит от близости rк единице без учета знака.

Таблица 7.2. Качественные характеристики связи

Значение	Связь
От 0 до ±0, 3 От ±0, 3 до ±0, 5 От ±0, 5 до ±0, 7 От ±0, 7 до ±1	Практически отсутствует Слабая Умеренная Сильная

Степень зависимости между х и у существенно выше в случае, ког­да r= -0, 8 по сравнению со случаем когда r = 0, 5.

Оценка существенности линейного коэффициент корреляции при большом объеме выборки (свыше 500) проводится с использованием отношения коэффициента корреляции () к его средней квадратической ошибке :

, (7.6)

где .

Если это отношение окажется больше значения t – критерия Стьюдента, определяемого по специальным таблицам теории вероятностей, то коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.

При недостаточном большом объеме выборки величину средней квадратической ошибки коэффициента корреляции определяют по формуле:

. (7.7)

В этом случае:

. (7.8)

Полученные значения сравнивается с табличным значением t – критерия Стьюдента.

В тех случаях, когда получен по данным малой выборки, для проверки его существенности целесообразно использовать метод преобразованной корреляции, предложенный Р. Фишером.

Средняя квадратическая ошибка Z – распределения зависит только от объема выборки и определяется по формуле:

. (7, 9)

По таблице соотношений между и (приложение 9)находят значение , соответствующее рассчитанному коэффициенту корреляции.

Если соотношения к средней квадратической ошибке (: ) окажется больше табличного значения критерия Стьюдента при определенном уровне значимости, то можно говорить о наличии связи между признаками в генеральной совокупности.

В практических исследованиях могут быть использованы и другие показатели для определения степени тесноты связи.

Элементарной характеристикой степени тесноты связи является коэффициент Фехнера:

, (7.10)

где количество совпадений знаков отклонений индивидуальных величин факторного признака и результативного признака от их средней арифметической величины (например, «плюс» и «плюс», «минус» и «минус», «отсутствие отклонения» и «отсутствие отклонения»); количество несовпадений знаков отклонений индивидуальных значений изучаемых признаков от значения их средней арифметической.

Коэффициент Фехнера целесообразно использовать для установления факта наличия связи при небольшом объеме исходной информации. Он изменяется в пределах .

 

Для определения тесноты связи как между количественными, так и между качественными признаками, при условии, что значения этих признаков могут быть проранжированы по степени убывания или возрастания, используется ранговый коэффициент корреляции Спирмена:

, (7.11)

где разность между величинами рангов признака – фактора и результативного признака; число показателей (рангов) изучаемого ряда.

Он варьирует в пределах от – 1, 0 до + 1, 0.

Ранговый коэффициент корреляции Спирмена обычно исчисляется на основе небольшого объема исходной информации, поэтому необходимо выполнить проверку его существенности. В приложении 7 приводится таблица предельных значений коэффициента корреляции рангов Спирмена при условии верности нулевой гипотезы об отсутствии корреляционной связи при заданном уровне значимости и определенном объеме выборочных данных.

Если полученное значение превышает критическую величину при данном уровне значимости, то нулевая гипотеза может быть отвергнута, т. е. величина не является результатом случайных совпадений рангов.

Для исследования степени тесноты связи между качественными признаками, каждый из которых представлен в виде альтернативных признаков, может быть использован коэффициент ассоциации Д. Юла или коэффициент контингенции К. Пирсона.

Расчетная таблица в этом случае состоит из четырех ячеек («таблица четырех полей»), статистическое сказуемое которой схематически может быть представлено в следующем виде:

Признак	А (да)	(нет)	Итого
В (да)	a	b	a+b
(нет)	c	d	c+d
Итого	a+c	b+d	n

 

В расчетной таблице:

a, b, c, d – частоты взаимного сочетания (комбинации) двух альтернативных признаков – A – и B – ; n – общая сумма частот.

Коэффициент ассоциации исчисляется по формуле:

. (7.12)

Коэффициент контингенции:

, (7.13)

где , , , числа в четырехклеточной таблице.

Коэффициент контингенции также изменяется от – 1, 0 до + 1, 0, но всегда его величина для тех же данных меньше коэффициента ассоциации.

Рассмотрим теперь на примере трехмерной генеральной сово­купности

() понятия и правила вычисления частных и мно­жественных коэффициентов корреляции. Пусть каждый экономи­ческий объект, элемент генеральной совокупности характеризует­ся тремя показателями . Требуется по данным выборки объемом п из генеральной совокупности исследовать взаимосвязь между этими показателями.

В этом случае выборка объемом п будет представлять собой мат­рицу наблюдений х:

 

 

В ней каждая i-я строка (i = 1, 2,..., n)характеризует i -и эконо­мический объект, а столбец, например первый, содержит значение для 1-го показателя для всех п объектов. По данным первого столб­ца матрицы X можно определить среднее значение , и выбороч­ную дисперсию S₁², первого показателя.

;

Аналогичным образом определяются выборочные характеристики , и , .

Отсюда, согласно (7.4), рассчитаем выборочные парные коэф­фициенты корреляции .

Частный коэффициент корреляции ρ _12/3 характеризует степень ли­нейной зависимости между двумя величинами, например и при исключенном влиянии остальных величин, включенных в модель (в нашем случае - это ).

Выборочный частный коэффициент корреляции, как выбороч­ный аналог определяется по формуле:

 

 

, (7.14)

где выборочные парные коэффициенты корреляции.

В трехмерной модели имеются еще два частных коэффициента корреляции r_12/3 и r_23/1 которые рассчитываются аналогично.

Мы имеем два коэффициента корреляции: парный r₁₂ и частный r_12/3которые характеризуют степень линейной зависимости между величинами и .Однако если парный коэффициент r₁₂ оценива­ет степень зависимости на фоне влияния , то частный коэффици­ент корреляции r_12/3 - при исключенном влиянии .

Таким образом, частный коэффициент корреляции более точно характеризует степень линейной зависимости.

Частный коэффициент корреляции обладает всеми свойствами парного, т.е. изменяется в пределах от-1 до+1. Если частный ко­эффициент корреляции равен ±1, то связь между двумя величинами функциональная, а равенство его нулю свидетельствует о линейной независимости этих величин.

Множественный коэффициент корреляции, например ρ _12/3, харак­теризует степень линейной зависимости между величиной , и ос­тальными переменными (, ), входящими в модель. Он изменяет­ся в пределах от 0 до 1. Равенство его единице свидетельствует о функциональной зависимости между, например, , и остальными переменными (, ), входящими в модель, а равенство его 0 свиде­тельствует об отсутствии линейной зависимости между , и пере­менными (, ).

Выборочный множественный коэффициент корреляции, выбо­рочный аналог генерального коэффициента ρ _1/23, можно выразить через парные коэффициенты:

(7.15)

В трехмерной модели имеются еще два множественных коэффи­циента корреляции r_2/13 и r_3/12, которые рассчитываются аналогично.

Квадрат коэффициента корреляции называют коэффициентом детерминации. При этом множественный коэффициент детермина­ции, например r_1/23, характеризует долю дисперсии объясняемую влиянием показателей и . Например, если = 0, 85, то это сви­детельствует, что 85% дисперсии объясняется влиянием показателей и , а 15% дисперсии объясняется влиянием факторов, которые не вошли в модель.

Таким образом, коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии одной величины, например у, объясняемой влия­нием фактора .

Методы регрессионного анализа. После того как с помощью корреляционного анализа выявлено наличие статистических связей между переменными и оценена сте­пень их тесноты, обычно переходя к математическому описанию конкретного вида зависимостей с использованием регрессионного анализа. С этой целью подбирают класс функций, связывающий результативный показатель у и аргументы _, отбирают наиболее информативные аргументы, вычисляют оценки неизвест­ных значений параметров уравнения связи и анализируют свойства полученного уравнения.

Функция , описывающая зависимость среднего зна­чения результативного признака у от заданных значений аргумен­тов, называется функцией (уравнением) регрессии. Термин «регрес­сия» (лат. - отступление, возврат к чему-либо) введен английским психологом и антропологом Ф. Гальтоном и связан исключительно со спецификой одного из первых конкретных при­меров, в котором это понятие было использовано. Так, обрабаты­вая статистические данные в связи с анализом наследственности ро­ста, Ф. Гальтон нашел, что если отцы отклоняются от среднего ро­ста всех отцов на х дюймов, то их сыновья отклоняются от средне­го роста всех сыновей меньше, чем на х дюймов. Выявленная тен­денция была названа «регрессией к среднему состоянию». Стех пор термин «регрессия» широко используется в статистической литера­туре, хотя во многих случаях он недостаточно точно характеризует понятие статистической зависимости.

Для точного описания уравнения регрессии необходимо знать закон распределения результативного показателя у. В статисти­ческой практике обычно приходится ограничиваться поиском под­ходящих аппроксимаций для неизвестной истинной функции регрессии , так как исследователь не располагает точным знани­ем условного закона распределения вероятностей анализируемо­го результирующего показателя у при заданных значениях аргу­мента х.

Рассмотрим взаимоотношение между истинной = , мо­дельной регрессией и оценкой регрессии. Пусть результатив­ный показатель у связан с аргументом х соотношением:

,

где ε - случайная величина, имеющая нормальный закон распреде­ления, причем Mε =0 и Dε =σ ². Истинная функция регрессии в этом случае имеет вид: = = .

Предположим, что точный вид истинного уравнения регрессии нам не известен, но мы располагаем девятью наблюдениями над дву­мерной случайной величиной, связанной соотношением и представленной на рис. 7.2.

 

 

у

70-60-50-40-30-20-

10-

О | 2 | 4 | 6 |8 | 10 x

 

Рис. 7.2. Взаимное расположение истинной f(x) и

теоретической модели регрессии

Расположение точек на рис. 7.2 позволяет ограничиться классом линейных зависимостей вида: = + . С помощью метода наи­меньших квадратов найдем оценку уравнения регрессии = + . Для сравнения на рис. 7.2 приводятся графики истинной функции регрессии = , теоретической аппроксимирующей функции регрессии = + .

Поскольку мы ошиблись в выборе класса функции регрессии, а это достаточно часто встречается в практике статистических иссле­дований, то наши статистические выводы и оценки окажутся оши­бочными. И как бы мы ни увеличивали объем наблюдений, наша выборочная оценка не будет близка к истинной функции регрес­сии . Если бы мы правильно выбрали класс функций регрессии, то не точность в описании с помощью объяснялась бы только ограниченностью выборки.

Тип модели выбирается на основе сочетания теоретического анализа и исследования эмпирических данных посредством построения эмпирической линии регрессии. Чаще других встречаются следующие виды уравнений регрессии:

а) линейная функция:

= + ; (7.16)

б) гиперболическая функция:

; (7.17)

в) параболическая функция:

; (7.18)

г) показательная функция:

; (7.19)

д) степенная функция:

; (7.20)

е) линейная многомерная функция:

. (7.21)

Для определения численных значений параметров уравнения связи (линии регрессии) используется метод наименьших квадратов и решается система нормальных уравнений.

Применение метода наименьших квадратов к линейной функции (7.16) дает нам систему нормальных уравнении:

. (7.22)

Применив метод наименьших квадратов к функции гиперболы (7.17) переходят к системе нормальных уравнений:

. (7.23)

Для определения параметров параболы второго порядка система нормальных уравнений такова:

. (7.24)

Прежде чем применить метод наименьших квадратов к показательной и степенной функциям их приводят к линейному виду путем логарифмирования. Далее применяют метод наименьших квадратов и переходят к системе нормальных уравнении.

 

Пример 7.1. На основании выборочных данных (табл. 7.3) о дея­тельности

п = 6 коммерческих фирм оценить тесноту связи между прибылью (млн руб.) (у)и затратами на 1 руб. произведенной про­дукции (х).

Таблица 7.3. Исходные и расчетные данные для определения r

Номер наблюдения i
		0, 22	21, 12		0, 049
		1, 07	83, 46		1, 145
		1, 00	77, 00		1, 000
		0, 61	54, 29		0, 372
		0, 78	63, 18		0, 608
		0, 79	64, 78		0, 624
Сумма		4, 47	363, 83		3, 798
Средняя	83, 833	0, 745	60, 638	7072, 5	0, 633

 

Используем формулу (7.4): Прежде всего определим S_x и S_y: ;

Тогда

Следовательно, между прибылью ()и затратами на 1 руб. про­изведенной продукции () существует достаточно тесная обрат­ная зависимость, т.е. фирмы, имеющие большую прибыль, име­ют, как правило, меньшие затраты на 1 руб. произведенной про­дукции.

Средняя квадратическая ошибка коэффициента корреляции рассчитаем по формуле (7.7):

.

Необходимо получить по формуле (7.8) расчетный коэффициент Стьюдента:

.

По таблице приложения 6 найдем табличное значение критерия Стьюдента при P=0, 95 и k=6-2;

Так как