МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Индекс – относительная величина, характеризующая изменение уровней сложных социально – экономических показателей во времени, в пространстве или по сравнению с некоторым эталоном (плановым, нормативным уровнем и т. п.). Если в качестве базы сравнения используется уровень за какой – либо предшествующий период, то получают индекс динамики; если же базой сравнения является уровень того же явления по другой территории, то получают территориальные индексы.

Индексные показатели вычисляются на высшей ступени статистического обобщения. Поэтому изучение данной темы должно базироваться на знании таких предшествующих тем как: «Сводка и группировка данных»; «Статистические показатели» и «Статистическое изучение динамики». С помощью индексного метода решаются следующие задачи:

1. характеристика общего изменения сложного социально - экономического показателя и отдельных его элементов;

2. измерение влияния факторов на общую динамику сложного показателя, включая характеристику влияния изменения структуры явления.

Индекс является результатом сравнения двух одноименных показателей, поэтому при их вычислении различают сравниваемый уровень (числитель индексного отношения), называемый текущим или отчетным, и уровень, с которым производится сравнение знаменатель индексного отношения), называемый базисным.

Простейшим показателем, используемым в индексном анализе, является индивидуальный индекс, который характеризует изменение во времени (или в пространстве) отдельных элементов той или иной совокупности. Так, индивидуальный индекс цены рассчитывается по формуле:

где цена товара в текущем периоде;

цена товара в базисном периоде.

Например, если цена товара А в текущем периоде составляла 90 руб., а в базисном 75 руб., то индивидуальный индекс цены: , или 120, 0%.

В данном примере цена товара А возросла по сравнению с базисным уровнем в 1, 2 раза, или на 20 %.

Оценить изменение объемов продажи товара в натуральных единицах измерения позволяет индивидуальный индекс физического объема реализации:

(8.2)

где количество товара, реализованное в текущем периоде;

количество товара, реализованное в базисном периоде.

Изменение объема реализации товара в стоимостном выражении отражает индивидуальный индекс товарооборота:

(8.3)

Индивидуальные индексы, в сущности, представляют собой относительные показатели динамики или темпы роста и по данным за несколько периодов времени могут рассчитываться в цепной или базисной формах.

Агрегатный индекс - это сложный относительный показатель, который характеризует среднее изменение социально-экономического явления, состоящего из непосредственно несоизмеримых элементов. Исходной формой сводного индекса является агрегатная.

При расчете агрегатного индекса для разнородной совокупности находят такой общий показатель, в котором можно объединить все ее элементы. Рассмотрим пример с розничными ценами. Цены различных товаров, реализуемых в розничной торговле, складывать неправомерно, однако с экономической точки зрения вполне допустимо суммировать товарооборот по этим товарам. Если мы сравним товарооборот в текущем периоде с его величиной в базисном периоде, то получим агрегатный индекс товарооборота:

(8.4)

На величину данного индекса оказывают влияние как изменение цен на товары, так и изменение объемов их реализации. Для того чтобы оценить изменение только цен (индексируемой величины), необходимо количество проданных товаров (веса индекса) зафиксировать на каком-либо постоянном уровне. При исследовании динамики таких показателей, как цена, себестоимость, производительность труда, урожайность, количественный показатель обычно фиксируют на уровне текущего периода. Таким способом получают агрегатный индекс цен (по методу Пааше):

 

(8.5)

Числитель данного индекса содержит фактический товарооборот текущего периода. Знаменатель же представляет собой условную величину, показывающую, каким был бы товарооборот в текущем периоде при условии сохранения цен на базисном уровне. Поэтому соотношение этих двух категорий и отражает имевшее место изменение цен.

Числитель и знаменатель сводного индекса цен можно интерпретировать с точки зрения потребителей. Числитель представляет собой сумму денег, фактически уплаченных покупателями за приобретённые в текущем периоде товары. Знаменатель же показывает, какую сумму покупатели заплатили бы за те же товары, если бы цены не изменились.

Разность числителя и знаменателя будет отражать величину экономии (если знак «-») или перерасхода («+») покупателей от изменения цен.

 

Третьим индексом в данной индексной системе является агрегатный индекс физического объема реализации. Он характеризует изменение количества проданных товаров не в денежных, а в физических единицах измерения:

(8.6)

Весами в данном индексе выступают цены, которые фиксируются на базисном уровне.

Между рассчитанными индексами существует следующая взаимосвязь:

(8.7)

Рассмотрим пример.

Задача 1. Имеются следующие данные о реализации плодово-ягодной продукции в области (табл. 8.1).

 

Таблица 8.1 - Реализация плодово-ягодной продукции в городе

Наименование товара	Июль	Август	Расчетные графы, руб.
цена за 1 кг, руб. p0	продано, т q0	Цена за 1 кг, руб. p1	Продано, т q1	p0q0	p1q1	p0q1
Черешня
Персики
Виноград
Итого	-	-	-	-

 

Определите:

 

1) общий индекс товарооборота;

2) общий индекс физического объема товарооборота;

3) общий индекс цен;

4) прирост товарооборота - всего, в том числе за счет изменения цен и объема продажи товаров.

Покажите связь между исчисленными индексами.

Решение:

1. Общий индекс товарооборота исчисляется по формуле:

, или 92, 2%.

Товарооборот в августе снизился на 7, 8%, по сравнению с июлем.

2. Общий индекс физического объема товарооборота (количества проданных товаров) исчисляется по формуле:

.

Это значит, что количество проданного товара в августе было больше на 0, 5%, чем в июле.

3. Общий индекс цен равен:

, или 91, 8%.

т.е. цены на все товары в среднем снизились на 8.8%.

4. Прирост или снижение товарооборота исчисляется как разница между числителем и знаменателем индекса товарооборота:

тыс. руб.

Это снижение обусловлено изменением цен на товары и изменением количества проданных товаров.

Снижение за счет изменения цен составил:

тыс. руб.,

снижение за счет изменения количества проданных товаров:

тыс. руб.

Следовательно, снижение товарооборота на 740 тыс. руб. произошло за счет повышения количества проданных товаров на 50 тыс. руб. и за счет снижения цен на 790 тыс. руб. [(-790) + (+50) = -740 тыс. руб.].

Между исчисленными индексами существует связь:

.

Числитель и знаменатель агрегатного индекса цен можно интерпретировать с точки зрения потребителей. Числитель представляет собой сумму денег, фактически уплаченных покупателями за приобретённые в текущем периоде товары. Знаменатель же показывает, какую сумму покупатели заплатили бы за те же товары, если бы цены не изменились.

Разность числителя и знаменателя будет отражать величину экономии (если знак «-») или перерасхода («+») покупателей от изменения цен:

тыс. руб.

Индекс физического объема реализации составит:

, или 100, 5%.

Физический объем реализации (товарооборота) увеличился на 8, 6%.

Используя взаимосвязь индексов, проверим правильность вычислений:

, или 92, 2%.

Мы рассмотрели применение агрегатных индексов в анализе товарооборота и цен. При анализе результатов производственной деятельности промышленного предприятия приведенные выше сводные индексы соответственно называются индексом стоимости продукции, индексом оптовых цен и индексом физического объема продукции.

Рассмотрим применение индексного метода в анализе изменения затрат на производство и себестоимости продукции.

Индивидуальный индекс себестоимости характеризует изменение себестоимости отдельного вида продукции в текущем периоде по сравнению с базисным:

(8.8)

Для определения общего изменения уровня себестоимости нескольких видов продукции, выпускаемых предприятием, рассчитывается сводный индекс себестоимости. При этом себестоимость взвешивается по объему производства отдельных видов продукции текущего периода:

(8.9)

Числитель этого индекса отражает затраты на производство текущего периода, а знаменатель - условную величину затрат при сохранении себестоимости на базисном уровне. Разность числителя и знаменателя показывает сумму экономии предприятия от снижения себестоимости:

(8.10)

Агрегатный индекс физического объема продукции, взвешенный по себестоимости, имеет следующий вид:

(8.11)

Третьим показателем в данной индексной системе является агрегатный индекс затрат на производство:

(8.12)

Все три индекса взаимосвязаны между собой:

(8.13)

Еще одна область применения индексного метода -это анализ изменений в производительности труда. При этом возможны два подхода к расчету индексов. Первый подход основан на учете количества продукции, вырабатываемого в единицу времени (w). При таких расчетах необходимо решить ряд методологических проблем - какой именно показатель продукции использовать, как оценивать продукцию работников сферы услуг и пр.

При втором подходе производительность труда определяется затратами рабочего времени на единицу продукции (t). На практике эти расчеты также сопряжены с определенными трудностями, так как не всегда имеется возможность оценить вклад конкретного работника в производство того или иного изделия.

Количество продукции, вырабатываемое в единицу времени (в натуральном выражении), и затраты времени на единицу продукции взаимосвязаны между собой:

(8.14)

Например, если работник на каждое изделие затрачивает 15 мин. (t = 0, 25 ч), то за час его в выработка составит 4 изделия. Отметим, что выработка может измеряться не только в натуральном, но и в стоимостном выражении (pq).

Индивидуальные индексы производительности труда, основанные на этих показателях, имеют следующий вид:

 

 

где суммарные затраты времени на выпуск данной продукции в человеко-часах, человеко-днях, или человеко-месяцах (в последнем случае соответствует общей численности работников).

Трудоемкость является обратным показателем, поэтому снижение трудоемкости в текущем периоде по сравнению с базисным свидетельствует о росте производительности труда.

Располагая данными о трудоемкости различных видов продукции и объемах их производства. Можно рассчитать агрегатный индекс производительности труда (по трудоемкости:

(8.15)

 

Знаменатель этого индекса отражает реально имевшие место общие затраты времени на выпуск всей продукции в текущем периоде ().Числитель представляет собой условную величину, показывающую, какими были бы затраты времени на выпуск этой продукции, если бы трудоемкость не изменилась.

Обратимся к примеру.

Задача 2. По данным табл. 8.2. измерим рост производительности труда на предприятии.

Таблица 8.2.

Вид продукции	Затраты времени на 1 изделие, чел.-ч	Произведено, штук.	Расчетные графы, чел.-ч.
Январь t0	Февраль t1	Январь q0	Февраль q1	t0q1	t1q1
Изделие А	1, 1	0, 8			496, 1	360, 8
Изделие Б	1, 3	1, 1			473, 2	400, 4
Изделие В	0, 9	0, 8			694, 8	617, 6
Итого	-	-	-	-	1664, 1	1378, 8

Рассчитать агрегатный индекс производительности труда по трудоемкости.

Решение.

, или 120, 7%.

Это значит, что прирост производительности труда в целом по предприятию составил 20, 7%.

Индекс производительности труда по трудоемкости связана с индексом затрат рабочего времени (труда) и с индексом физического объема продукции, взвешенным по трудоемкости:

 

(8.16)

При расчете сводного индекса производительности труда в стоимостном выражении (по выработке) необходимо количество продукции, произведенной за каждый период, взвесить по каким -либо ценам принятым за сопоставимые. В качестве сопоставимых могут выступать цены текущего, базисного или какого-либо другого периода или средние цены.

Индекс в этом варианте рассчитывается по формуле:

(8.17)

Первая часть этой формулы представляет собой среднюю выработку в отчетном периоде, вторая часть - в базисном.

Приведем пример.

Задача 3. Предположим, имеются следующие данные о производстве продукции и отпускных ценах предприятия (табл. 8.3).

Таблица 8.3.

Вид продукции	Сентябрь	Октябрь	Отпускная цена, руб.	Расчетные графы, руб.
Произведено, шт.	Трудовые затраты, чел.-ч	произведено, шт. q1	трудовые затраты, чел.-ч
Изделие А
Изделие Б
Изделие В
Итого	-		-		-

 

 

Вычислить индекс производительности труда.

Решение.

или 81, 7%.

Это значит, что в текущем периоде за 1 чел.-ч вырабатывалось 70, 3 руб. продукции, а в базисном – 86, 0 руб. Снижение производительности труда составил 8, 3%.

Умножение индекса производительности труда по выработке на индекс затрат рабочего времени приводит к индексу физического объема продукции, взвешенному по отпускной цене:

(8.18)

 

 

Агрегатные индексы в средней арифметической и средней гармонической формах. Агрегатный способ исчисления общих индексов в статистике является основным, наиболее распространенным, вместе с тем применяется и другой способ расчета общих индексов как средних из соответствующих индивидуальных индексов. К исчислению таких средневзвешенных индексов прибегают тогда, когда исходная информация не позволяет рассчитать общий агрегатный индекс. Так, если неизвестны количества произведенных отдельных видов продукции в натуральных измерителях, но известны индивидуальные индексы и стоимость продукции базисного периода , можно определить средний арифметический индекс физического объема продукции.

Исходной базой построения средневзвешенного индекса физического объема продукции служит его агрегатная форма (8.6):

Из имеющихся данных непосредственно можно только получить знаменатель этой формулы. Для нахождения числителя используем формулу индивидуального индекса объема продукции , из которого следует, что . Подставляя данное выражение в числитель агрегатной формы, получим общий индекс физического объема в форме среднего арифметического индекса физического объема продукции, где весами служит стоимость отдельных видов продукции в базисном периоде :

(8.19)

При выборе весов необходимо помнить о том, что средний индекс должен быть тождествен агрегатному, который является основной формой индекса.

Предположим, мы располагаем данными о стоимости произведенной продукции в текущем периоде и индивидуальными индексами цен . Тогда в знаменателе агрегатного индекса цен можно использовать следующую замену:

Таким образом, агрегатный индекс цен будет выражен в форме средней гармонической взвешенной из индивидуальных индексов:

. (8.20)

Обратимся к примерам.

Задача 4. По данным табл. 8.4. получите сводную оценку изменения цен.

Таблица 8.4 -Реализация овощной продукции

Товар	Реализация в текущем периоде, руб.	Изменение цен в текущем периоде по сравнению с базисным, % 100%-100%	Расчетные графы
Морковь Свекла Лук		+4, 0 +2, 3 -0, 8	1, 040 1, 023 0, 992
Итого		-	-

 

 

Решение. Вычислим средний гармонический индекс:

, или 101, 6%

Задача 5. Предположим, в нашем распоряжении имеются следующие данные (табл. 8.5.).

Таблица 8.5 - Реализация товаров в натуральном и стоимостном выражениях

Товар	Реализация в базисном периоде, руб.	Изменение физического объема реализации в текущем периоде по сравнению с базисным, % 100% - 100%	Расчетные графы
	.
Мандарины		-6, 4	0, 936
Грейпфруты		-8, 2	0, 918
Апельсины	51 000	+1, 3	1, 013	51 663
Итого		-	-

 

Определите индекс физического объема товарооборота.

 

Рассчитать средний арифметический индекс по формуле (8.19):

, или 96, 4%.

Физический объем реализации данных товаров в среднем снизился на 3, 6%.

Индексы средних величин. На динамику качественных показателей, уровни которых выражены средними величинами, оказывает влияние изменение структуры изучаемого явления. Под изменением структуры явления здесь понимают изменение доли отдельных единиц совокупности, из которых формируются средние, в общей их численности. Так, например, на среднюю себестоимость какого – либо изделия А может влиять не только изменение себестоимости этого изделия на предприятиях отрасли, но и изменение удельного веса (доли) предприятий с разной себестоимостью в общем выпуске этого изделия. Динамика среднего душевого дохода населения зависит от изменения среднего дохода каждого человека и от изменения количества людей с более высокими (низкими) доходами в общей численности населения.

Следовательно, на изменение среднего значения показателя могут оказывать воздействие одновременно два фактора: изменение значений осредняемого показателя и изменение структуры явления.

Так, например, средняя производительность труда на предприятии может возрасти за счет ее повышения у отдельных рабочих и увеличения доли рабочих с более высокой производительностью труда в общей численности рабочих, вырабатывающих одноименную продукцию. При этом могут наблюдаться случаи повышения средней производительности труда при снижении производительности труда у отдельных рабочих. Такое повышение будет обеспечено увеличением доли рабочих с более высокой производительностью труда. При изучение динамики средней урожайности сталкиваются с фактом изменения урожайности отдельных культур и изменением доли посевных площадей этих культур во всем посевном клине, т. е. структурных сдвигов.

Структурные сдвиги в экономике – это важные процессы совершенствования производства и большой дополнительный источник развития производственных сил общества. В связи с этим при анализе развития экономики страны важно определить, в какой мере это развитие зависит от структурных сдвигов, т. е. какой экономический эффект дает то или иное улучшение структуры производства.

Таким образом, при изучении динамики средней величины задача состоит в определении степени влияния двух факторов – изменений значений осредняемого показателя и изменении структуры явления. Эта задача решается с помощью индексного метода, т. е. путем построения системы взаимосвязанных индексов, в которую включаются индексы: переменного состава, постоянного состава и структурных изменении (сдвигов).

Индекс переменного состава представляет собой отношение двух взвешенных средних с изменяющимися (переменными) весами, показывающее изменение индексируемой средней величины.

Для любых качественных показателей индекс переменного состава можно записать следующим образом:

, (8.21)

где уровни осредняемого показателя в отчетном и базисном периодах соответственно; веса (частоты) осредняемого показателя (уровни количественного показателя) в отчетном и базисном периодах соответственно.

Чтобы исключить влияние изменения структуры совокупности на динамику средней величины, берут отношение средних взвешенных с одними и теми же весами (как правило, на уровне отчетного периода). Индекс, характеризующий динамику средней величины при одной и той же фиксированной структуре совокупности, носит название индекса постоянного (фиксированного) состава и исчисляется по формуле:

. (8.22)

После сокращения на формула () примет вид уже известной нам формулы агрегатного индекса качественного показателя:

.

Индекс постоянного состава показывает, как в отчетном периоде по сравнению с базисным изменилась средняя величина показателя по какой – либо однородной совокупности з счет изменения только самой индексируемой величины, т. е. когда влияние структурного фактора устранено.

Для измерения влияния только структурных изменений на исследуемый средний показатель исчисляют индекс структурных сдвигов, как отношение среднего уровня индексируемого показателя базисного периода, рассчитанного на отчетною структуру, к фактической средней этого показателя в базисном периоде:

. (8.23)

В качестве весов (частот) индексов средних величин наряду с абсолютными показателями могут использоваться и относительные показатели (доли) . В этом случае рассмотренные индексы для любых качественных показателей можно выразить следующими формулами:

где доли единиц с определенным значением признака в общей совокупности в отчетном и базисном периодах соответственно.

Приведем демонстративный пример.

Задача 6. Пуст мы располагаем данными о заработной плате работников предприятии по трем отраслям экономики региона (табл. 8.6).

№ п/п	Отрасль экономики	Заработная плата, руб.	Число работников, чел.
Январь	Декабрь	Январь	Декабрь
	Здравоохранение Образование Культура

 

Определите индексы заработной платы:

1) переменного состава;

2) фиксированного состава;

3) влияния структурных сдвигов.

Решение:

1. Определим индекс заработной платы переменного состава, который равен соотношению средней заработной платы по трем отраслям экономики:

 

.

Предварительно рассчитаем среднюю заработную плату в январе и декабре. Обозначим заработную плату , число работников .

Январь:

руб.

Декабрь:

 

руб.

Тогда индекс заработной платы переменного состава составит:

, или 113, 6%.

Следовательно, средняя заработная плата работников по отраслям экономики выросло в декабре по сравнению сентябрем на 13, 6%.

Абсолютное снижение средней заработной платы составил:

7103, 4-6250, 8=852, 6 руб.

Изменение средней заработной платы происходило под влиянием изменений заработной платы в каждой отрасли экономики и структуры численности работников.

2. Вычислим индекс заработной платы постоянного состава:

, или 114, 7%.

Таким образом, средняя заработная плата работников по указанным отраслям экономики выросло в декабре по сравнению январем на 14, 7% под воздействие изменения только одного фактора – самой заработной платы по каждой отрасли экономики.

При этом абсолютный прирост средней заработной платы составил:

7103, 4-6193, 4=910, 0 руб.

3. Вычислим индекс структурных изменении численности работников:

, или 99, 1%.

Следовательно, увеличение доли работников с меньшей заработной платой в общей их численности привело к снижению средней заработной платы по трем отраслям вместе на 0, 9%, хотя в каждой отрасли по отдельности она возросла.

Территориальные индексы. Территориальные индексы служат для сравнения показателей в пространстве, т.е. по предприятиям, округам, городам, районам, и пр.

Построение территориальных индексов определяется выбором базы сравнения и весов или уровня, на котором фиксируются веса. При двусторонних сравнениях каждая территория может быть и сравниваемой (числитель индекса), и базой сравнения (знаменатель). Веса как первой, так и второй территории в принципе также имеют равные основания использоваться при расчете индекса. Однако это может привести к различным или даже противоречивым результатам. Избежать подобной неопределенности можно несколькими способами. Один из них заключается в том, что в качестве весов принимаются объемы проданных товаров по двум регионам, вместе взятым:

. (8.24)

Территориальный индекс цен в этом случае рассчитывается по следующей формуле:

(8.25)

Рассмотрим демонстративный пример.

Задача 7. Известны цены и объем реализации товаров по двум регионам (табл. 8.7)

Таблица 8.7

Товар	Регион А	Регион В	Расчетные графы
цена, руб.	Реализация, т. qa	Цена руб. pb	Реализация, т qb			pb Q
	11, 8		12, 8			802, 4	870, 4
	18, 5		19, 0			1905, 5	1957, 0
	17, 8		16, 9			1780, 0	1690, 0
Итого	-	-	-	-	-	4487, 9	4517, 4

 

Рассчитать территориальный индекс цен. Решение.

, или 100, 7%.

Цены в регионе В на 0, 7 % превышают цены в регионе А.

Этому выводу не противоречит и обратный индекс:

или 99, 3%.

В формуле данного территориального индекса вместо суммарных иногда используются стандартизованные веса (стандартизованная структура). В качестве таких весов может выступать структура продажи данных видов продукции по более крупному территориальному образованию, например, республике. В этом случае индекс имеет вид:

. (8.26)

Второй способ расчета территориальных индексов учитывает соотношение весов сравниваемых территорий. При этом способе первый шаг заключается в расчете средней цены каждого товара по двум территориям, вместе взятым:

. (8.27)

После этого непосредственно рассчитывается территориальный индекс:

. (8.28)

По данным нашего примера получим:

= 12, 36;

= 18, 78;

= 17, 02.

С учетом рассчитанных средних цен вычислим индекс:

= 1, 018, или 101, 8%.

 

Данный подход к расчету территориального индекса обеспечивает известную взаимосвязь:

. (8.29)

Индекс физического объема реализации при этом строится следующим образом:

. (8.30)

Аналогично строятся индексы для сравнения цен территории А с ценами территории Б.