ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ5.1. Из общего количества рабочих предприятия была проведена 30%-ная случайная бесповторная выборка с целью определения затрат времени на проезд к месту работы. Результаты выборки следующие (табл. 5.1). Таблица 5.1
Определить: 1) средние затраты времени на проезд к месту работы у рабочих данного предприятия, гарантируя результат с вероятностью 0, 997; 2) долю рабочих предприятия, у которых затраты времени на проезд к месту работы составляют 60 мин. и более, гарантируя результат с вероятностью 0, 954. 5.2. Выходной контроль качества поступающих на предприятие комплектующих изделий, осуществляемый в порядке механической выборки, дал следующие результаты (табл. 5.2). Таблица 5.2
Определить: 1) пределы значений среднего отклонения размера изделий от стандарта по ГОСТу с вероятностью 0, 997; 2) пределы доли изделий с отрицательным отклонением в общей совокупности изделий с вероятностью 0, 954. 5.3. Произведён 10%-ный пропорциональный типический отбор рабочих со сдельной и повременной системами оплаты труда для изучения показателей выполнения сменного задания. Отбор единиц в каждой группе бесповторный. Выборка дала следующее распределение численности рабочих по проценту выполнения норм выработки (табл. 5.3). Таблица 5.3
Определить: 1) доверительные интервалы, в которых с вероятностью 0, 954 заключён средней процент выполнения сменного задания для всех рабочих предприятий; 2) возможные пределы доли рабочих, выполняющих сменное задание не менее чем на 120% (с вероятностью 0, 954); 3) необходимую численность выборки при определении доли рабочих, выполняющих сменное задание не менее чем на 120%, чтобы с вероятностью 0, 954 предельная ошибка выборки не превышала 3%.
5.4. В АО «Прогресс» работает 3000 человек. Методом случайной бесповторной выборки обследовано 1000 человек, из которых 820 выполняли и перевыполняли дневную норму выработки. Определить: 1) долю рабочих, не выполняющих норму выработки, по данным выборочного обследования; 2) долю всех рабочих акционерного общества, не невыполняющих норму (с вероятностью 0, 954). 5.5. Из партии изготовленных изделий общим объёмом 2000 единиц проверено посредством механической выборки 30% изделий, из которых бракованными оказались 12 изделий. Определить: 1) долю бракованных изделий по данным выборки; 2) пределы, в которых находится процент бракованных изделий, для всей партии (с точностью 0, 954). 5.6. По данным выборочного обследования 10000 пассажиров пригородного сообщения средняя дальность поездки пассажира составила 35, 5 км., а среднее квадратическое отклонение – 16, 0 км. Определить: пределы средней дальности поездки пассажиров с вероятностью 0, 954; как изменится предельная ошибка выборки, если вероятность будет принята равной 0, 997? 5.7. хронометраж работы станочника дал следующие результаты (табл. 4.18). Таблица 5.4
Определить: средние затрат времени на обработку одной детали по данным наблюдения; предельную ошибку выборки с вероятностью 0, 954, учитывая, что речь идёт о массовом производстве, т.е. выборка производится из генеральной совокупности бесконечно большого объёма. 5.8. В механическом цехе завода в порядке малой выборки изучались фотографии рабочего дня 10 рабочих. Время непроизводителной работы и перерывов, зависящих от рабочего и по организационно-техническим причинам, для обследованных рабочих составило: 52, 48, 60, 46, 62, 54, 51, 49, 55, 53 мин. Определить: 1) доверительные пределы, в которых находится среднее время непроизводительной работы и перерывов для всех рабочих цеха, гарантируя результат с вероятностью 0, 99; 2) вероятность того, что среднее время непроизводительной работы и перерывов всех рабочих цеха отличалось от полученного по выборке не более чем на 3 мин. 5.9. Из 200 ящиков по 100 деталей в каждом, поступивших на склад готовой продукции, в порядке случайной бесповторной серийной выборки отобрано 5 ящиков, все детали которых проверены на вес. Результаты проверки следующие (табл. 5.5). Таблица 5.5
Определить: 1) возможные пределы среднего веса детали для всей партии, поступившей на склад (с вероятностью 0, 954); 2) объём случайной бесповторной серийной выборки, чтобы с вероятностью 0, 683 предельная ошибка выборки при определении среднего веса одной детали для всей партии не превышала 0, 7 г.
5.10. На предприятии с числом установленных металлорежущих станков 120 единиц необходимо на основе выборочного обследования определить долю станков возрастом свыше 10 лет. Никаких предварительных данных об удельном весе этого оборудования в общей численности установленного оборудования нет. Определить, каков должен быть объём выборки с механическим отбором, чтобы при вероятности 0, 954 предельная ошибки выборки не превышала 5%. 5.11. Объём выборки: 1) увеличился в 2 раза; 2) уменьшился в 2 раза. Определить, как изменится ошибка простой случайной повторной выборки. 5.12. На основе 5%-ной бесповторной выборки получены следующие данные о пробеге автомобильных шин, эксплуатируемых в городских условиях (табл. 5.6). Таблица 5.6
Определить доверительные интервалы среднего пробега шин в городских условиях, гарантируя результат с вероятностью 0, 954. 5.13. По 25 рабочим механического цеха собраны данные о прохождении этими рабочими технического обучения и проценте выполнения норм выработки. Результаты обследования следующие (табл. 5.7).
Таблица 5.7
Установить, используя метод дисперсионного анализа, существует ли зависимость между процентом выполнения норм выработки и повышением квалификации, гарантируя результат с вероятностью 0, 95.
5.14. Для определения средней из совокупности произведена типическая выборка. Совокупность разделена на три однородные группы численностью 3000, 5000 и 10000 единиц соответственно. Отбор 5%-ный. Результаты, полученные по данным выборки, следующие (табл. 5.8). Таблица 5.8
Гарантийную вероятность принять равной 0, 997. Определить доверительные интервалы средней.
5.15. Методом собственно случайной бесповторной выборки было обследовано 150 студентов дневного отделения одного из высших учебных заведений. Доля студентов, совмещающих работу и учёбу, составило, по по данным выборки, 30%. Определить вероятность того, что ошибка доли студентов дневного отделения этого учебного заведения, работающих в течение учебного года, не превысит 5%; 10%. 5.16. Сколько фирм необходимо проверить налоговой инспекции района, чтобы ошибка доли фирм, несвоевременно уплачивающих налоги, не превысила 5%? По данным предыдущей проверки, доля фирм составила 32%. Доверительную вероятность принять равной 0, 954 (0, 997). 5.17. Общая численность служащих предприятия составляет 324 человека. Рассчитайте численность механической выборки для определения доли служащих, прошедшие повышение квалификации по использованию вычислительной техники, чтобы с вероятностью 0, 954 ошибки репрезентативности не превышала 10%. 5.18. Из 220 отобранных изделий 5% не соответствуют ГОСТу. Определить среднюю ошибку повторной выборки и границы, в которых находится доля продукции, соответствующая ГОСТу, для всей партии с вероятностью 0, 997. 5.19. В сберегательных банках города методом случайной повторной выборки было отобрано 1600 счетов вкладчиков. Средний размер остатков вклада по этим счетам составил 3, 2 тыс. руб. при коэффициенте вариации 30%. Какова вероятность того, что ошибка репрезентативности при определении среднего размера остатков вклада не превысит 0, 05 тыс. руб.? 5.20. Доля определения средней продолжительности телефонного разговора и доли разговоров, продолжительность которых превышает 5 мин., предполагается провести выборочное наблюдение методом случайной выборки. По данным аналогичных обследований, среднее квадратичное отклонение продолжительности разговора составило 3, 5 мин., а доля телефонных разговоров, продолжительность которых превышает 5 мин., составила 0, 4. Сколько телефонных разговоров необходимо обследовать для того, чтобы с вероятностью 0, 954 (0, 997) найти среднюю продолжительность телефонного разговора, с ошибкой, не превышающей 30 с, а также долю телефонных разговоров, продолжительность которых превышает 5 мин., с ошибкой, не превышающей 5%? 5.21. На автотранспортном предприятии известны следующие результаты выборочного обследования пробега автомобильных шин одного типоразмера в городских условиях при работе водителей различной квалификации (табл. 5.9). Таблица 5.9
Определить на основе приведённых данных существенно ли расхождение среднего пробега автомобильных шин для двух водителей, гарантируя результат с вероятностью 0, 954. 5.22. Обработка детали №318 производит в цехе на трёх станках, имеющих различную производительность. Для определения доли бракованных деталей для всей партии продукции организованна типическая выборка. Методом бесповторного отбора от каждого станка взято 10% деталей из числа обработанных за день и получены следующие результаты (табл. 5.10). Таблица 5.10
Определить: предельную ошибку выборки и доверительные интервалы, в которых с вероятностью 0, 997 будет находиться процент брака для всей партии деталей, обработанных за день; вероятность того, что процент брака для всей партии деталей будет отличаться от полученного по выборке не более, чем на 0, 7%. 5.23. Построить 95%-ный доверительный интервал для оценки генерального среднего размера детали по данным 12 деталей, произведённых на токарном автомате, если отклонения размеров этих деталей от середины поля допуска оказались следующими (табл. 5.11). Таблица 5.11
5.24. Для характеристики использования рабочего времени в механическом цехе проектируется повторное проведение моментного наблюдения. Проведение предыдущего наблюдения дало следующие результаты: 420 отметок состояния «работа» и 60 – состояние «простой». Определить необходимое число моментных наблюдений и обходов рабочих мест с вероятностью 0, 954 (0, 997), приняв точность результатов в пределах 1% (2%). Число рабочих мест в цехе – 60. 5.25. При проверке автомобильных шин на сопротивление разрыву была проведена малая выборка и получены следующие результаты (табл. 5.12). Таблица 5.12
Определить доверительные интервалы, в которых заключён средний уровень сопротивления материала разрыву, гарантируя результат с вероятностью 0, 99. 5.26. Компания, сдающая автомобили в аренду, решила оценить размеры простоев автомобилей в ремонте в течение года. Выборка по 10 автомобилям показала, что в прошлом году количество дней, в течении которых автомобили находились на ремонте, составило: 15; 11; 19; 24; 6; 18; 20; 15; 18; 9. Определить с вероятностью 95% доверительный интервал для среднего числа дней в году, когда автомобили не используются в связи с ремонтом, пологая, что распределение времени простоя автомобиля в ремонте подчиняется нормальному закону. Не производя дополнительных расчётов, указать, будет ли доверительный интервал шире или уже, если нужно будет его рассчитать с вероятностью 90%. 5.27. По результатам выборки имеются следующие данные: средняя равна 8, среднее квадратическое отклонение 2, 6, а объём выборки – 32 единицы. Какому уровню доверительной вероятности соответствует доверительный интервал средней 7, 195< х< 8, 805? 5.28. Для изучения важности сторон маркетинговой деятельности была проведена простая случайная выборка, в процессе которой были изучены мнения 50 руководителей маркетинговых служб предприятий пищевой промышленности. Из 11 вопросов 16% участников выборочного обследования наиболее важным посчитали ценовую политику. Определить с вероятностью 99% доверительный интервал доли руководителей маркетинговых служб в генеральной совокупности предприятий пищевой промышленности, оценивающих ценовую политику, как наиболее важную сторону маркетинга. Как изменится величина доверительного интервала, если будет обследовано не 50, а 70 руководителей? 5.29. По данным выборочного обследования, средняя арифметическая величина равна 100. При уровне доверительной вероятности 90% верхняя граница доверительного интервала генеральной средней составила 112. Какой величине равна нижняя граница доверительного интервала? 5.30. Из партии в 4000 электрических лампочек было отобрано по схеме собственно случайной бесповторной выборки 200 лампочек. Средняя продолжительность горения лампочек в выборке оказалась равной 1250 ч. Какова вероятность того, что средний срок службы лампочек во всей партии заключён в пределах от 1220 до 1280 ч? Среднее квадратическое отклонение по предшествующим исследованиям равно 150 ч. 5.31. Для определения процента нестандартных деталей в партии по схеме повторной выборки было отобрано 500 деталей, среди которых оказалось 12 нестандартных. Какова вероятность того, что доля нестандартных деталей во всей партии отличается от доли деталей, полученной по выборке не более чем на 0, 02 (по абсолютной величине). 5.32. Из партии в 8000 деталей было подвергнуто контролю 12, 5% деталей. Среди них оказалось 4% нестандартных. Определить вероятность того, что доля нестандартных деталей во всей партии отличается от выборочной доли не более чем на 1, 5%, если выборочная совокупность образована по схеме: а) повторной выборки; б) бесповторной выборки. 5.33. Выборочное обследование дальности поездок населения в пригородных электропоездах трёх дорог, организованное по схеме 10%-ной типической бесповторной выборки, дало следующие результаты (табл. 5.13).
Таблица 5.13
Определить: 1) доверительные интервалы, в которых с вероятностью 0, 997 заключена средняя дальность поездки пассажира по каждой дороге и в целом по пригородному сообщению; 2) вероятность того, что средняя дальность поездок по трём дорогам вместе отличается от полученной по выборке не более чем на 0, 8 км. 5.34. Из генеральной совокупности численностью в 400 единиц планируется 10%-ная выборка с механическим отбором единиц. Определить: 1) объём выборки; 2) интервал отбора; 3) на сколько частей делится генеральная совокупность. 5.35. Предельная ошибка доли признака при случайной повторной выборке равна 8%. Определить, как следует изменить объём выборки, если величина ошибки должна быть уменьшена до 5%. 5.36. Из партии изготовленных изделий в 1800 шт. проверено посредством механической выборки 25% изделий, из которых бракованными оказались 18. Определить: 1) долю бракованных изделий по данным выборки; 2) пределы, в которых находится процент бракованных изделий в партии с вероятностью 0, 954.
|
