Решения типовых задач

№1. Имеются выборочные данные по 15 коммерческим банкам региона:

 

№ п/п	х	у	№ п/п	х	у	№ п/п	х	у

 

Построить однофакторную регрессионную линейную модель.

Решение: Предположим, что между объемом собственных средств и привлеченных средств существует линейная корреляционная связь, которую можно выразить уравнением прямой вида .

Для определения параметров и методом наименьших квадратов воспользуемся формулами , .

Таблица 7.7

Расчетные значения, необходимые для исчисления , , , ,

 

Исходные данные	Расчетные значения
№ банка	Объем собственных средств, млн. руб.	Объем привлеченных средств, млн. руб.
			-32, 6 -27, 6 -19, 6 -9, 6 -6, 6 -5, 6 -4, 6 1, 4 4, 4 9, 4 9, 4 12, 4 17, 4 24, 4 27, 4	-127 -93 -77 -73 -55 -29	1062, 76 761, 76 384, 16 92, 16 43, 56 31, 36 21, 16 1, 96 19, 36 88, 36 88, 36 153, 76 302, 76 595, 96 750, 76

 

 

Продолжение таблицы 7.7

 

Расчетные значения
	4140, 2 2566, 8 1509, 2 700, 8 363, 0 162, 4 179, 4 18, 2 52, 8 573, 4 479, 4 508, 4 1531, 2 2220, 4 3726, 4		-32 -27 -5 -19 -7 -12 -13		0, 23 0, 29 0, 07 0, 30 0, 22 0, 03 0, 14 0, 03 0, 04 0, 09 0, 05 0, 05 0, 05 0, 05 0, 06
	18732, 0				1, 70

 

.

 

Пользуясь расчетными значениями (см. Табл. 7.7.), подсчитаем параметры для данного уравнения регрессии:

,

 

.

 

Следовательно, регрессионная модель объема привлеченных средств по собственным средствам банков для данного примера может быть записана в виде следующего уравнения регрессии:

.

 

Это уравнение характеризует зависимость среднего объема привлеченных средств банков от собственных средств. Расчетные значения , найденные по данному уравнению, приведены в таблице 7.7, гр. 9.

Если параметры регрессионного уравнения подсчитаны верно, то должно соблюдаться равенство сумм теоретических и эмпирических значений объема привлеченных средств, , а сумма разностей между эмпирическими и теоретическими значениями объема привлеченных средств должна быть равна 0 (гр.10. табл. 7.7).

В нашем уравнении регрессии параметр показывает, что с увеличением объема собственных средств одного банка на 1 млн. руб. объем привлеченных средств возрастает в среднем на 4, 26 млн. руб.

Если исследуемые признаки имеют разные единицы измерения, для оценки влияния факторного признака на результативный применяется коэффициент эластичности.

Коэффициент эластичности рассчитывается для каждой точки по формуле:

,

где - первая производная уравнения регрессии.

Он показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак при изменении факторного признака на 1%.

Средний коэффициент эластичности определяется для уравнения прямой по формуле:

.

 

Если зависимость величин результативного признака у от значений факторного признака х имеет форму гиперболической зависимости, то есть характеризуется корреляционным уравнением , то для определения параметров и методом наименьших квадратов находим две частные производные от функции , по и , приравниваем их к нулю, получаем систему нормальных уравнений:

 

.

Производим замену переменных , получаем следующую систему нормальных уравнений:

.

Параметры уравнения гиперболы можно вычислить по формулам:

 

 

Гиперболическая форма корреляционной связи используется при изучении зависимости уровня себестоимости единицы продукции от объема выпуска продукции.

Если зависимость величин результативного признака у от значений факторного признака х характеризуется корреляционным уравнением параболы второй степени , то это параболическая зависимость.

И парабола, и прямая являются частным случаем полинома n-ой степени вида .

Систему уравнений для определения параметров можно найти, приравнивая нулю частные производные от по . Решив систему, определяем параметры корреляционного уравнения.