Решения типовых задач

№1. Имеются выборочные данные по 15 коммерческим банкам региона:

 

№ п/п	х	у	№ п/п	х	у	№ п/п	х	у

 

Построить однофакторную регрессионную линейную модель.

Решение: Предположим, что между объемом собственных средств и привлеченных средств существует линейная корреляционная связь, которую можно выразить уравнением прямой вида .

Для определения параметров и методом наименьших квадратов воспользуемся формулами , .

Таблица 7.7

Расчетные значения, необходимые для исчисления , , , ,

 

Исходные данные	Расчетные значения
№ банка	Объем собственных средств, млн. руб.	Объем привлеченных средств, млн. руб.
			-32,6 -27,6 -19,6 -9,6 -6,6 -5,6 -4,6 1,4 4,4 9,4 9,4 12,4 17,4 24,4 27,4	-127 -93 -77 -73 -55 -29	1062,76 761,76 384,16 92,16 43,56 31,36 21,16 1,96 19,36 88,36 88,36 153,76 302,76 595,96 750,76

 

 

Продолжение таблицы 7.7

 

Расчетные значения
	4140,2 2566,8 1509,2 700,8 363,0 162,4 179,4 18,2 52,8 573,4 479,4 508,4 1531,2 2220,4 3726,4		-32 -27 -5 -19 -7 -12 -13		0,23 0,29 0,07 0,30 0,22 0,03 0,14 0,03 0,04 0,09 0,05 0,05 0,05 0,05 0,06
	18732,0				1,70

 

.

 

Пользуясь расчетными значениями (см. Табл. 7.7.), подсчитаем параметры для данного уравнения регрессии:

,

 

.

 

Следовательно, регрессионная модель объема привлеченных средств по собственным средствам банков для данного примера может быть записана в виде следующего уравнения регрессии:

.

 

Это уравнение характеризует зависимость среднего объема привлеченных средств банков от собственных средств. Расчетные значения , найденные по данному уравнению, приведены в таблице 7.7, гр. 9.

Если параметры регрессионного уравнения подсчитаны верно, то должно соблюдаться равенство сумм теоретических и эмпирических значений объема привлеченных средств, , а сумма разностей между эмпирическими и теоретическими значениями объема привлеченных средств должна быть равна 0 (гр.10. табл. 7.7).

В нашем уравнении регрессии параметр показывает, что с увеличением объема собственных средств одного банка на 1 млн. руб. объем привлеченных средств возрастает в среднем на 4,26 млн. руб.

Если исследуемые признаки имеют разные единицы измерения, для оценки влияния факторного признака на результативный применяется коэффициент эластичности.

Коэффициент эластичности рассчитывается для каждой точки по формуле:

,

где - первая производная уравнения регрессии.

Он показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак при изменении факторного признака на 1%.

Средний коэффициент эластичности определяется для уравнения прямой по формуле:

.

 

Если зависимость величин результативного признака у от значений факторного признака х имеет форму гиперболической зависимости, то есть характеризуется корреляционным уравнением , то для определения параметров и методом наименьших квадратов находим две частные производные от функции , по и , приравниваем их к нулю, получаем систему нормальных уравнений:

 

.

Производим замену переменных , получаем следующую систему нормальных уравнений:

.

Параметры уравнения гиперболы можно вычислить по формулам:

 

 

Гиперболическая форма корреляционной связи используется при изучении зависимости уровня себестоимости единицы продукции от объема выпуска продукции.

Если зависимость величин результативного признака у от значений факторного признака х характеризуется корреляционным уравнением параболы второй степени , то это параболическая зависимость.

И парабола, и прямая являются частным случаем полинома n-ой степени вида .

Систему уравнений для определения параметров можно найти, приравнивая нулю частные производные от по . Решив систему, определяем параметры корреляционного уравнения.