Практичне заняття № 8
СТАТИСТИЧНИЙ АНАЛІЗ ТОЧНОСТІ МЕХАНІЧНОЇ ОБРОБКИ ЗА ДОПОМОГОЮ КРИВИХ РОЗПОДІЛУ
Мета роботи – оволодіти методикою побудови теоретичних і емпіричних кривих розподілу випадкових безперервних величин і основами їхнього застосування для аналізу точності механічної обробки.
8.1. Загальні положення і методика виконання роботи
У машинобудуванні статистичні методи широко використовуються для оцінювання точності обробки деталей, настроювання металорізальних верстатів на розмір обробки, оцінювання стабільності технологічних процесів, прогнозування браку, контролю якості продукції і розв’язання інших технологічних задач серійного і масового виробництва. У математичній статистиці використовуються специфічні поняття, серед яких основними є: випробування, подія, випадкова величина, розподіл випадкової величини, генеральна сукупність, вибірка, об’єм вибірки. Випробуванням (test) називають практичне виконання певного комплексу дій і умов (наприклад, однократне виконання деякого технологічного переходу механічної обробки). Подією (event) називають явище, що відбувається внаслідок випробування (наприклад, отримання певного дійсного значення технологічного розміру внаслідок однократного виконання технологічного переходу механічної обробки). Події, що відбуваються під час багаторазового повторення випробовувань, називають масовими (event are mass). Якщо в результаті кожного випробування неодмінно відбувається певна подія А, то таку подію називають достовірною. Якщо в умовах даного випробування деяка подія В ніколи не може відбутись, то її називають неможливою (an event is impossible). Якщо ж під час випробування подія С може відбутися, а може і не відбутися, то таку подію називають можливою (an event is possible) або випадковою (an event is casual). Якщо результатом масових випробувань є сукупність випадкових подій, які можна охарактеризувати кількісно, то цю кількісну характеристику (лінійний розмір, показник шорсткості, твердість матеріалу тощо) називають випадковою величиною (casual size). Наприклад, випадковою величиною може бути діаметр шийки валика як результат механічної обробки партії таких валиків на одному з технологічних переходів. Розрізняють дискретні і безперервні випадкові величини. Дискретна випадкова величина (discrete casual size) може приймати лише певні, найчастіше цілочислові значення. Наприклад, кількість бракованих деталей в партії може бути тільки цілим додатним числом. Безперервна випадкова величини (continuous casual sizes) може приймати будь-які кількісні значення з безперервного ряду її можливих значень в межах певного інтервалу. Наприклад, розміри деталей, які утворюються в результаті механічної обробки, є безперервними випадковими величинами. Під час випробувань деяка випадкова подія може відбуватися декілька разів. Нехай, наприклад, під час проведених N випробувань подія А відбулася f разів. Число f має назву частоти події (frequency of event). Відношення частоти події f до загальної кількості випробувань N називають частістю події (frequentness of event) Таким чином,
Якщо кількість випробувань досить велика, то частість подій приблизно дорівнює імовірності появи цих подій в майбутньому (звичайно, за тих же умов). Сукупність значень випадкової величини, отриманих під час масових випробувань і розташованих у висхідному порядку із зазначенням їх імовірності або частості, називають розподілом випадкової величини (division of casual size). Однією з основних задач математичної статистики є розробка методів вивчення масових явищ або процесів на основі порівняно невеликої кількості випробувань. Ці методи мають своє наукове обґрунтування, яке називають теорією вибірок. У відповідності з цією теорією групу предметів, об’єднаних деякою спільною ознакою або властивістю кількісного чи якісного характеру, називають статистичною сукупністю (statistical aggregate). Наприклад, партію деталей, оброблену зі сталими технологічними умовами на певній операції, можна розглядати як статистичну сукупність. Спільною ознакою може бути, наприклад, досліджуваний розмір поверхні або розмір між поверхнями. Для обстеження великих сукупностей використовують вибірки з них. Таким чином, вибіркою (selection) називають частину членів сукупності, відібраних із неї для отримання інформації про всю сукупність. У цьому випадку сукупність, що її представляє вибірка, називають генеральною сукупністю (general aggregate). Кількість членів вибірки складає її об’єм (sample size). Для того, щоб за даними аналізу вибірки можна було робити висновки про певну ознаку генеральної сукупності, необхідно, щоб члени вибірки правильно її представляли, тобто вибірка має бути репрезентативною (representativeness of a sample). Для забезпечення репрезентативності вибірки оброблених заготовок повинні виконуватись такі умови: - всі заготовки мають оброблятися безперервно, на одному верстаті, одним інструментом, з однаковими режимами різання; - верстат має працювати з приблизно однаковими зупинками для встановлення й знімання заготовок, без тривалих перерв; - всі заготовки мають бути виготовлені з одного й того ж матеріалу; - під час обробки заготовок вибірки різальний інструмент не повинен зніматися, переточуватися, правитися або піднастроюватися. Всі заготовки вибірки після механічної обробки вимірюються за допомогою універсального вимірювального інструмента, величина ціни поділки
де T – допуск вимірюваного розміру. В цьому практичному занятті розглядається методика статистичного аналізу точності обробки за допомогою побудови та аналізу кривих розподілу. Розглянемо методику виконання такого аналізу на прикладі обробки партії заготовок на токарному напівавтоматі. Припустимо, що верстат настроєний на обробку отвору в розмір Ø 40Н9(+0, 062) мм. Припустимо, що під час обробки на технологічний процес впливали лише випадкові похибки (коливання розміру заготовок; твердості їх поверхонь тощо), які призвели до розсіювання розмірів деталей в партії. Для аналізу відібрана вибірка послідовно оброблених деталей об’ємом 50 штук з такими розмірами (таблиця 8.1). Дійсні розміри отворів записані в таблицю у послідовності вимірювання деталей.
Таблиця 8.1 Дійсні розміри виміряних деталей
В результаті аналізу отриманої сукупності дійсних розмірів отворів має бути побудована крива їх розподілу. Цю криву будують у такій послідовності. Після проведення вимірювань досліджуваного розміру х визначають емпіричне поле розсіювання
У розглядуваному випадку Далі поле розсіювання розбивають на певну кількість інтервалів k (найчастіше k = 8...11) і визначають ширину інтервалу
Прийнявши k = 7, отримаємо Результат обчислення Таблиця 8.2
Емпіричний розподіл випадкової величини можна показати графічно (рис. 8.1) у вигляді полігона розподілу (ground of division) або гістограми розподілу (histogram of division).
Очевидно, що значення частостей mi будуть залежати від ширини вибраного інтервалу. Щоб позбутися цього, розглядають емпіричну щільність розподілу випадкової величини, розуміючи під останньою відношення частості до величини інтервалу
де і – порядковий номер інтервалу. У цьому випадку вид графіка не залежить від величини інтервалу ∆. Цей інтервал навіть можна вибирати різним на різних ділянках графіка. Зі збільшенням кількості деталей в партії, підвищенням точності їх вимірювання і наближенням ∆ до нуля графік емпіричної щільності розподілу наближається до гладкої кривої, яку називають емпіричною диференціальною кривою розподілу (empiric differential curve of division) або розподілом випадкової величини (division of casual size). Для того, щоб за знайденим розподілом розмірів вибірки спрогнозувати результати обробки заготовок, які складають генеральну сукупність, потрібно знайдений (емпіричний) закон розподілу замінити теоретичним законом, який за формою був би близьким до емпіричного. Встановлено, що емпіричний розподіл розмірів заготовок, оброблених на настроєному верстаті, найчастіше близький до закону нормального розподілу (the law of normal distribution). Диференціальна функція розподілу безперервної випадкової величини, що підпорядковується закону нормального розподілу, визначається виразом
де у – теоретична щільність розподілу, Значення
де n – кількість заготовок у вибірці (об’єм вибірки); xi – середній розмір і -го інтервалу; fi – частота і -го інтервалу. Для прикладу, що розглядається,
Подальший аналіз результатів вимірювань здійснюється за допомогою таблиць унормованих законів розподілу. Для можливості використання таких таблиць розмірну незалежну змінну х замінюють безрозмірною незалежною змінною t, яка зв’язана з х таким співвідношенням
З урахуванням (8.9) рівняння (8.5) можна записати у вигляді
Важливою особливістю виразу (8.6) є те, що в інтервалі ±3
Далі, показавши на осі х (див. рис. 8.1) поле допуску досліджуваного технологічного розміру, можна визначити відсоток імовірного браку (виправного та невиправного). Відсоток виправного браку для отвору (для вала – невиправного) складе
де Відповідно відсоток невиправного браку для отвору (для вала –виправного)
де Величини Ф(t 1) та Ф(t 2) визначаються за таблицею функції Лапласа (додаток Б). Аналіз точності технологічного переходу можна виконати також за допомогою коефіцієнта точності виконання (coefficient of exactness of implementation) K т і коефіцієнта зміщення настроєння(coefficient of displacement of tuning) Е. Коефіцієнт точності виконання
де Коефіцієнт зміщення настроєння
де Визначений за формулою (8.14) фактичний коефіцієнт зміщення настроєння порівнюється з допустимим
Слід зазначити, що зміщення середини кривої розподілу відносно середини поля допуску може передбачатись для компенсації систематичних похибок, що закономірно змінюються (наприклад, похибки, що спричиняється розмірним зносом різального інструмента), тільки за умови, якщо Таким чином, робота без браку забезпечується, якщо виконуються умови К т ≤ 1; (8.16)
Е ≤ Е доп. (8.17)
8.2. Зміст і послідовність виконання завдання На настроєному верстаті оброблена вибірка заготовок об’ємом 50 штук. Всі умови репрезентативності вибірки виконані. Вимірюванням встановлені дійсні значення аналізованого технологічного розміру всіх заготовок вибірки. Технологічні умови обробки і характеристика вимірювального інструмента наведені в таблиці 8.3. Для заданого викладачем варіанта (таблиця 8.4) необхідно встановити наявність імовірного браку та його характер. Завдання пропонується виконати у такій послідовності. 1. З використанням умови (8.2) перевірити правильність вибору вимірювального інструмента. 2. Серед сукупності значень розмірів заготовок вибірки (таблиця 8.4) вибрати мінімальний та максимальний, знайти поле розсіювання і розбити його на непарну кількість інтервалів (рекомендована кількість – 7). 3. Для кожного з інтервалів визначити частоту, частість, емпіричну щільність розподілу і записати в таблицю, яку оформити аналогічно 4. Побудувати графіки емпіричного диференціального розподілу (див. рис. 8.1) у вигляді гістограми та полігона розподілу. На рисунку показати також поле допуску. 5. Визначити середнє значення розміру 6. На графік емпіричного розподілу (див. рис. 8.1) нанести графік теоретичної кривої розподілу (кривої нормального розподілу). Точки для побудови графіка знайти за формулою
Значення функції 8. Визначити відсоток виправного і невиправного браку за формулами (8.11) і (8.12). 8. Визначити коефіцієнт точності виконання і коефіцієнт зміщення настроєння за формулами (8.13) і (8.14), допустимий коефіцієнт зміщення настроєння за формулою (8.15) і перевірити виконання умов (8.16) і (8.17). 9. Зробити висновки і, за необхідності, запропонувати заходи підвищення точності механічної обробки на досліджуваному технологічному переході.
8.3. Зміст звіту
1. Назва і мета заняття. 2. Технологічні умови обробки і характеристика вимірювального інструмента (згідно з індивідуальним завданням). 3. Результати статистичної обробки результатів вимірювання (у формі таблиці 8.2). 4. Розрахунки середнього значення розміру 5. Гістограма, полігон і теоретична крива розподілу (рис. 8.1). 6. Визначення імовірного браку, коефіцієнта точності виконання і коефіцієнта зміщення настроєння. 7. Висновки і пропозиції.
8.4. Питання для самоперевірки
1. Суть методу статистичного аналізу точності механічної обробки за допомогою кривих розподілу. 2. Які вимоги мають задовольняти заготовки вибірки для забезпечення її репрезентативності. 3. Основні статистичні характеристики розподілу безперервних випадкових величин. 4. Які статистичні характеристики точності технологічного переходу можна визначити за допомогою побудови і аналізу кривих розподілу? 5. Як визначається імовірний відсоток браку? 6. Чи залежить імовірний відсоток браку від коефіцієнта точності виконання і коефіцієнта зміщення настроєння?
8.5. Варіанти задач для індивідуальних завдань Таблиця 8.3 Технологічні умови механічної обробки і характеристика вимірювального інструмента
Таблиця 8.4 Дійсні значення розмірів оброблених заготовок вибірки
|
.
. (8.1)
якого має відповідати вимозі
, (8.2)
, під яким розуміють інтервал, у якому знаходяться всі дійсні значення х. Цей інтервал знаходять як різницю найбільшого і найменшого значень х, тобто
. (8.3)
= 40, 063 – 40, 000 = 0, 063 мм.
. (8.4)
Рис. 8.1. Графіки емпіричної і теоретичної характеристик розподілу безперервної випадкової величини (розміру x)
, (8.5)
, (8.6)
- середнє значення розміру х, σ – середньоквадратичне відхилення випадкової величини (розміру х).
та σ можна знайти за формулами
; (8.7)
, (8.8)
мм;
= 0, 011 мм.
. (8.9)
. (8.10)
із серединою в точці, що відповідає значенню 
і тому
.
, (8.11)
– координата по осі t нижньої границі поля допуску (див. рис. 8.1), 
– найменше допустиме значення технологічного розміру.
, (8.12)
– координата по осі t нижньої границі поля допуску, 
– найбільше допустиме значення технологічного розміру.
, (8.13)
– допуск досліджуваного технологічного розміру.
, (8.14)
– середнє значення заданого технологічного розміру.
. (8.15)
. Якщо ж 
, то таке зміщення призводить до збільшення браку і тому недоцільне.
і середнє квадратичне відхилення 
.
можна взяти з додатка В. Для даного випадку достатньо взяти точки t = 0; 0, 5; 1; 1, 5; 2; 2, 5; 3, а другу половину кривої побудувати симетрично.
2
)
10
)
Зовнішня циліндрична поверхня
20
