Тема 12. Електромагнітна індукція

За визначенням ЕРС

У інших нерухомих частинах контуру стороння сила дорівнює нулю. Співвідношення для можна записати у звичному вигляді. За час Δ t площа контуру змінюється на Δ S = l vΔ t. Зміна магнітного потоку за цей час рівна Δ Φ = B l vΔ t. Отже,

.

Для того, щоб встановити знак у формулі, що зв'язує і треба вибрати узгоджені між собою за правилом правого гвинта напрям нормалі і позитивний напрям обходу контуру. Якщо це зробити, то легко прийти до формули Фарадея.

Якщо опір усього кола дорівнює R, то в ньому протікатиме індукційний струм, рівний I_інд = /R. За час Δ t в опорі R виділиться кількість теплоті:

Виникає питання: звідки береться ця енергія, адже сила Лоренца роботи не здійснює! Цей парадокс виник тому, що ми врахували роботу тільки однієї складової сили Лоренца. При протіканні індукційного струму по провідникові, що знаходиться в магнітному полі, на вільні заряди діє ще одна складова сили Лоренца, пов'язана з відносною швидкістю руху зарядів уздовж провідника. Ця складова відповідальна за появу сили Ампера. Для випадку, зображеного на рисунку 3.55, модуль сили Ампера становить F_A = IB l. Сила Ампера спрямована назустріч руху провідника; тому вона здійснює негативну механічну роботу. За час dt ця робота дорівнює:

.

На провідник, що рухається в магнітному полі, по якому протікає індукційний струм, діє магнітне гальмування. Повна робота сили Лоренца дорівнює нулю. Кількість теплоти в контурі виділяється або за рахунок роботи зовнішньої сили, яка підтримує швидкість провідника незмінною, або за рахунок зменшення кінетичної енергії провідника.

2. Друга причина зміни магнітного потоку, що пронизує контур, - зміна в часі магнітного поля при нерухомому контурі. В цьому випадку виникнення ЕРС індукції вже не можна пояснити дією сили Лоренца. Електрони в нерухомому провіднику можуть приводитися в рух тільки електричним полем. Це електричне поле породжується магнітним полем, що змінюється в часі. Робота цього поля при переміщенні одиничного позитивного заряду по замкнутому контуру рівна ЕРС індукції в нерухомому провіднику. Отже, електричне поле, породжене магнітним полем, що змінюється, не є потенційним. Його називають вихровим електричним полем. Уявлення про вихрове електричне поле було введене у фізику великим англійським фізиком Дж. Максвеллом (1861 р.).

Таким чином, явища індукції в рухомих і нерухомих провідниках, протікають однаково, але фізична причина виникнення індукційного струму виявляється в цих двох випадках різною. У разі провідників, що рухаються, ЕРС індукції обумовлена силою Лоренца; у разі нерухомих провідників ЕРС індукції є наслідком дії на вільні заряди вихрового електричного поля, що виникає при зміні магнітного поля.

§ 55. Самоіндукція. Енергія магнітного поля

Явище самоіндукції виникає в тому випадку, коли магнітний потік, що змінюється з часом і викликає ЕРС індукції, створюється струмом в самому контурі. Якщо струм в замкнутому контурі з якихось причин змінюється, то змінюється і магнітне поле цього струму, а, отже, і власний магнітний потік, що пронизує контур. У контурі виникає ЕРС самоіндукції, яка згідно з правилом Ленца перешкоджає зміні струму в контурі.

Власний магнітний потік Φ;, що пронизує контур або котушку із струмом, пропорційний силі струму

Φ = LI. (3.65)

Коефіцієнт пропорційності L в цій формулі називається коефіцієнтом самоіндукції або індуктивністю котушки. Одиниця індуктивності в СІ називається генрі (Гн). Індуктивність контуру або котушки дорівнює 1 Гн, якщо при силі постійного струму 1 А власний потік дорівнює 1 Вб (Гн = 1Вб/1А).

В якості прикладу розрахуємо індуктивність довгого соленоїда, що має N витків, площу перерізу S і довжину l. Магнітне поле соленоїда визначається формулою (3.57)

B = μ ₀In,

де I - струм в соленоїді, n = N/ l - число витків на одиницю довжини соленоїда.

Магнітний потік, що пронизує усі N витків соленоїда, дорівнює

Φ = B·S·N = μ ₀n²S l I. Φ = B·S·N = μ 0n2SlI.

Отже, індуктивність соленоїда становить:

L = μ ₀n²S l = μ ₀n²V,

де V = S l - об'єм соленоїда, в якому зосереджено магнітне поле. Отриманий результат не враховує крайових ефектів, тому він справедливий тільки для досить довгих котушок. Якщо соленоїд заповнений речовиною з магнітною проникністю μ;, то при заданій силі струму I індукція магнітного поля зростає по модулю в μ раз; тому індуктивність котушки з сердечником також збільшується в μ раз:

Lμ = μ L = μ ₀μ n²V. (3.66)

ЕРС самоіндукції, що виникає в котушці з постійним значенням індуктивності, згідно з формулою Фарадея становить:

. (3.67)

ЕРС самоіндукції прямо пропорційна індуктивності котушки і швидкості зміни сили струму в ній.

Енергія магнітного поля

Магнітне поле має енергію. Подібно до того, як в зарядженому конденсаторі є запас електричної енергії, в котушці, по витках якої протікає струм, є запас магнітної енергії. Якщо включити електричну лампу паралельно котушці з великою індуктивністю в електричне коло постійного струму, то при розмиканні ключа спостерігається короткочасний спалах лампи (рис. 3.56). Струм в колі виникає під дією ЕРС самоіндукції. Джерелом енергії, що виділяється при цьому в електричному колі, є магнітне поле котушки.

Рисунок 3.56.

Із закону збереження енергії виходить, що уся енергія, запасена в котушці, виділиться у вигляді джоулевого тепла. Якщо позначити через R повний опір кола, то за час dt виділиться кількість теплоти:

dQ = I²Rdt. Сила струму в колі дорівнює,

тоді вираз для dQ можна записати у виді:

dQ = - LIdI.

У цьому виразі dI < 0; струм в колі поступово убуває від початкового значення I₀ до нуля. Повну кількість теплоти, що виділилася в колі, можна отримати, проінтегрувавши вираз межах від I₀ до 0. Це дає

. (3.68)

Цю формулу можна отримати графічним методом. На рисунку 3.57 представлений графік залежність магнітного потоку Φ (I) від струму I. Повна кількість теплоти, що виділилася, визначається площею трикутника.

Рисунок 3.57.

Таким чином, енергія W_м магнітного поля котушки з індуктивністю L дорівнює:

. (3.69)

Застосуємо отриманий вираз для енергії котушки до довгого соленоїда з магнітним сердечником. Використовуючи приведені вище формули для коефіцієнта самоіндукції L_μ соленоїда і для магнітної індукції B, що створюється струмом I, можна отримати:

, (3.70)

де V - об'єм соленоїда. Цей вираз показує, що магнітна енергія локалізована не у витках котушки, по яких протікає струм, а розосереджена у всьому об’ємі, в якому створено магнітне поле. Фізична величина рівна енергії магнітного поля в одиниці об'єму, називається об'ємною густиною магнітної енергії.

. (3.71)

Дж. Максвелл показав, що вираз для об'ємної густини магнітної енергії (3.71), виведене тут для випадку довгого соленоїда, справедливий для будь-яких магнітних полів.

Приклад розв’язку задачі:

Квадратна дротяна рамка із стороною а=5см і опором R=10 мОм знаходиться в однорідному магнітному полі з індукцією В=40 мТл. Нормаль до площини рамки складає кут 30˚ з лініями магнітної індукції. Визначити заряд, який пройде по рамці, якщо магнітне поле вимкнути.

Розв’язок:

При виключенні магнітного поля відбувається зміна магнітного потоку. Внаслідок цього в рамці виникає ЕРС індукції. Згідно із законом електромагнітної індукції

ЕРС індукції викличе в рамці індукційний струм, миттєве значення якого можна визначити за законом Ома I_i=ε _i /R. Тоді

Оскільки миттєве значення сили індукційного струму I_i=dq/dt, можна отримати:

Заряд знайдемо, проінтегрувавши останній вираз:

Оскільки при вимкненому полі магнітний потік дорівнює нулю

За визначенням магнітного потоку маємо Ф₁=ВScosα

У нашому випадку рамка квадратна (S=a²) тоді

Перевірка розмірності:

Обчислення:

Завдання:

1. Що називається потоком вектора індукції магнітного поля? У яких одиницях він вимірюється?
2. Сформулюйте закон електромагнітної індукції.
3. Що є причиною виникнення ЕРС індукції в замкнутому контурі?
4. Вивести вираз ЕРС індукції в плоскій рамці, що рівномірно обертається в однорідному магнітному полі.
5. У чому полягає явище самоіндукції?
6. Що таке індуктивність? У яких одиницях вимірюється індуктивність? Від чого залежить індуктивність контуру?
7. Які речовини називаються діамагнетиками, феромагнетики і парамагнетиками?
8. Які феромагнетики називаються магнітомягкими і магнітожорсткими, де вони застосовуються?
9. Знайти індуктивність соленоїда, в якому рівномірна зміна струму на 2 А за 0, 25с збуджує ЕРС самоіндукції 20 мВ.(0, 0025 Гн).
10. Яка швидкість зміни струму в контурі, індуктивністю 1 Гн, якщо в ній виникає ЕРС. самоіндукції 10 В. (10 А/С).
11. Коротка котушка, що містить 1000 витків дроту, рівномірно обертається з частотою 10 оборотів в секунду відносно осі, що лежить в площині котушки і перпендикулярно лініям індукції магнітного поля з індукцією 0, 04 Тл. Визначити миттєве значення ЕРС індукції для тих моментів часу, коли площина котушки складає кут 60˚ з лініями магнітного поля. Площа котушки дорівнює 100 см². (21, 35 В).
12. Кільце з алюмінієвого дроту поміщене в магнітне поле перпендикулярно лініям магнітної індукції. Діаметр кільця 20 см, діаметр дроту рівний 1мм. Визначити швидкість зміни магнітного поля, якщо в кільці виникає індукційний струм 0, 5 А. Питомий опір алюмінію 26 нОм· м (0, 33 Тл/с).
13. Дротяний виток діаметром 5 см і опором 0, 02 Ом знаходиться в однорідному магнітному полі з індукцією 0, 3 Тл. Площина витка складає кут 30˚ з лініями індукції. Який заряд протече по витку при виключенні магнітного поля? (0, 015 Кл).

Література

1. К. А. Путилов Курс физики, тт.1, 2. ГИТТЛ, М., 1957-1960.
2. С. Э. Фриш и А. В. Тиморева. Курс общей физики, тт., 1, 2. ГИФМЛ, М., 1958-1960.
3. А. Г. Зисман и О. М. Тодес Курс общей физики, тт., 1, 2. ГИФМЛ, М., 1958.
4. Е. А. Штрауф. Электричество и магнетизм. ГТТИ, М.. 1950.
5. Ж. Россель, Общая физика. «Мир», М., 1964.
6. В. Акоста, К. Кован, Б. Греем Основы современной физики. «Просвещение», М., 1981.
7. Т. И. Трофимова, Курс физики. «Высшая школа», М. 1990.
8. И. В. Савельев, Курс общей физики, тт., 1, 2. «Наука», М., 1970.
9. А. Г. Чертов, А. А. Воробьев, Задачник по физике. «Высшая школа», М., 1987.
10. В. А. Григорьев, Г. Я. Мякишев Силы в природе. «Наука», М., 1973.

Зміст

Вступ......................................... 3

Вступ….. ……………………………………………………………………………………………………………. 3

РОЗДІЛ1

Механіка ………………………………………………………………………………………………………..……6