Закон Ома
. (3.32) Величина R називається електричним опором. Провідник, що має електричний опір, називається резистором. Співвідношення (3.32) виражає закон Ома для однорідної ділянки кола: сила струму в провіднику прямо пропорційна прикладеній напрузі і обернено пропорційна опору провідника. У СІ одиницею електричного опору провідників служить Ом (Ом). Опір 1 Ом має така ділянка кола, в якій при напрузі 1 В виникає струм силою 1 А.
(3. 33) ρ - питомий електричний опір матеріалу провідника (вимірюється в Ом·м). Закон Ома можна представити в диференціальній формі:
де величина γ - питома електрична провідність. Е - напруженість електричного поля в провіднику. Оскільки в провіднику носії струму в кожній точці рухаються у напрямі вектора Е, то напрями густини струму J і напруженості електричного поля співпадають Е. Провідники, що підпорядковуються закону Ома, називаються лінійними. Графічна залежність сили струму I від напруги U зображується прямою лінією, що проходить через початок координат (такі графіки називаються вольт-амперними характеристиками, скорочено ВАХ). Слід зазначити, що існує багато матеріалів і пристроїв, де закон Ома не виконується. До них відносяться напівпровідниковий діод або газорозрядна лампа. Навіть у металевих провідників при досить великих струмах спостерігається відхилення від лінійного закону Ома, оскільки електричний опір металевих провідників росте із зростанням температури. Для ділянки кола, що містить ЕРС, закон Ома записується в наступній формі: IR = U12 = φ 1 - φ 2 +ε = Δ φ 12 +ε;. (3.35) Вираз (3.35) прийнято називати узагальненим законом Ома для ділянки електричного кола.
Рисунок 3.20. На рисунку 3.20 зображене замкнуте коло постійного струму. Ділянка кола (cd) є однорідною. За законом Ома IR = Δ φ cd. Ділянка (ab) містить джерело струму з ЕРС, рівною ε і опором r. За законом Ома для неоднорідної ділянки: I·r= Δ φ ab + ε. Склавши обидві рівності, отримаємо: I(R+ r) = Δ φ cd + Δ φ ab +ε.. Але Δ φ cd = Δ φ ba = - Δ φ ab, тому
Ця формула виражає закон Ома для повного електричного кола: сила струму в повному колі дорівнює електрорушійній силі джерела поділеній на суму опорів однорідного і неоднорідного ділянок кола. Опір r неоднорідної ділянки на рисунку 3.20 можна розглядати як внутрішній опір джерела струму. В цьому випадку ділянка (ab) на рисунку 3.20 є внутрішньою ділянкою джерела.
(3.37)
Сила струму короткого замикання - максимальна сила струму, яку можна отримати від даного джерела з електрорушійною силою ε і внутрішнім опором r. У джерел з малим внутрішнім опором струм короткого замикання може бути дуже великий і викликати руйнування електричного кола або джерела. Наприклад, у свинцевих акумуляторів сила струму короткого замикання може складати декілька сотень ампер. Особливо небезпечні короткі замикання в освітлювальних мережах, що живляться від підстанцій (тисячі ампер). Щоб уникнути руйнівної дії таких великих струмів, в коло включаються запобіжники або спеціальні автомати захисту мереж.
Провідники в електричних колах можуть з'єднуватися послідовно і паралельно. При послідовному з'єднанні провідників (рис. 3.21) сила струму в усіх провідниках однакова: I1 = I2 = I.
Рисунок 3.21. За законом Ома, напруга U1 і U2 на кінцях провідниках становить: U 1 = IR 1, U 2 = IR 2. Загальна напруга U на обох провідниках дорівнює сумі напруг U1 і U2: U = U1 + U2 = I(R1 + R2) = IR, де R - електричний опір усього кола. Звідси слідує: R = R1 + R2. При послідовному з'єднанні повний опір кола дорівнює сумі опорів окремих провідників. Цей результат справедливий для будь-якого числа послідовно сполучених провідників. При паралельному з'єднанні (рис. 3.22) напруги U1 і U2 на обох провідниках однакові: U1 = U2 = U. Сума струмів I1 + I2, що протікають по обох провідниках, дорівнює струму в нерозгалуженому колі: I = I1 + I2. Цей результат виходить з того, що в точках розгалуження струмів (вузли A і B) в колі постійного струму не можуть накопичуватися заряди. Наприклад, до вузла A за час Δ t підтікає заряд IΔ t, а витікає від вузла за той же час заряд I1Δ t + I2Δ t. Отже, I = I1 + I2.
Рисунок 3.22. Записуючи на підставі закону Ома
тоді
При паралельному з'єднанні провідників величина, зворотна загальному опору кола, дорівнює сумі величин, зворотних опорам паралельно включених провідників. Цей результат справедливий для будь-якого числа паралельно включених провідників. Формули для послідовного і паралельного з'єднання провідників дозволяють у багатьох випадках розраховувати опір складного кола, що складається з багатьох резисторів. На рисунку 3.23 наведений приклад такого кола і вказана послідовність обчислень.
Рисунок 3.23. Слід зазначити, що далеко не усі складні кола, що складаються з провідників з різними опорами, можуть бути розраховані за допомогою формул для послідовного і паралельного з'єднання. На рисунку 3.24 наведений приклад електричного кола, який не можна розрахувати, вказаним вище методом.
Рисунок 3.24. Електричні кола, подібні до зображеного на рисунку 3.24, а також кола, що містять розгалуження декілька джерел, розраховуються за допомогою правил Кірхгофа. Правила Кірхгофа для розгалужених кіл Правила Кірхгофа, являються узагальненням закону Ома на випадок розгалужених електричних кіл. У розгалужених колах можна виділити вузлові точки (вузли), в яких сходяться не менше трьох провідників (рис. 3.25). Струми, впадаючі у вузол, прийнято вважати позитивними; струми, витікаючі з вузла, - негативними.
Рисунок 3.25. У вузлах кола постійного струму не може відбуватися накопичення зарядів. Звідси слідує перше правило Кірхгофа: Сума сил струмів для кожного вузла в розгалуженому колі дорівнює нулю: I1+I2+I3+..+In =0. Перше правило Кірхгофа є наслідком закону збереження електричного заряду.
Рисунок 3.26. Рисунок 3.27 У розгалуженому колі завжди можна виділити деяку кількість замкнутих шляхів, що складаються з однорідних і неоднорідних ділянок. Такі замкнуті шляхи називаються контурами. На різних ділянках виділеного контуру можуть протікати різні струми. На рисунку 3.26 представлений простий приклад розгалуженого кола. Коло містить один незалежний вузол (a або d), і три контури abcd, adef і abcdef. З них тільки два є незалежними (наприклад, abcd і adef), оскільки третій не містить ніяких нових ділянок. Запишемо узагальнений закон Ома для ділянок контурів кола, зображеного на рисунку 3.26, наприклад, abcd. Для цього на кожній ділянці треба задати позитивний напрям струму і позитивний напрям обходу контуру. При записі узагальненого закону Ома для кожної з ділянок необхідно дотримувати певні " правила знаків", які пояснюються на рисунку 3.27Для ділянок контуру abcd узагальнений закон Ома записується у виді,: Для ділянки bc: I1R1 = Δ φ bc - ε 1. Для ділянки da: I2R2 = Δ φ da - ε 2. Складаючи ліві і праві частини цієї рівності і зважаючи, що Δ φ bc = - Δ φ da, отримаємо: I1R1 + I2R2 = Δ φ bc + Δ φ da – ε 1 - ε 2 = – ε 1 – ε 2 . Аналогічно, для контуру adef можна записати: - I2R2 + I3R3 = ε 2+ε 3. Друге правило Кірхгофа можна сформулювати так: сума добутків опору кожного з ділянок будь-якого замкнутого контуру розгалуженого кола постійного струму на силу струму на цій ділянці дорівнює сумі ЕРС уздовж цього контуру. Друге правило Кірхгофа є наслідком узагальненого закону Ома. Перше і друге правила Кірхгофа, записані для усіх незалежних вузлів і контурів розгалуженого кола, дають в сукупності необхідне і достатнє число алгебраїчних рівнянь для розрахунку електричного кола. Для кола, зображеного на рисунку 3.26, система рівнянь для визначення трьох невідомих струмів I1, I2 і I3 має вигляд: I1R1 + I2R2 = – ε 1 – ε 2 . - I2R 2+ I3R 3= ε 2 + ε 3. - I1 + I2 + I 3= 0 . Таким чином, правила Кірхгофа зводять розрахунок розгалуженого електричного кола до розв’язку системи лінійних рівнянь. Якщо в результаті розв’язку сила струму на якійсь ділянці виявляється негативною, то це означає, що струм на цій ділянці йде в напрямі, протилежному до вибраного позитивного напряму. § 47. Робота і потужність струму. Закону Джоуля-Ленца При протіканні струму по однорідній ділянці кола електричне поле здійснює роботу. За час dt по колу протікає заряд dq = Idt. Електричне поле на виділеній ділянці здійснює роботу dA = (φ 1 – φ 2)dq = Δ φ 12Idt = UIdt. Цю роботу називають роботою електричного струму. Використовуючи закон Ома для ділянки кола, роботу можна виразити співвідношеннями: Δ A = UIdt = RI2 Δ t, або dA = UIdt = RI2dt Коли електричний струм постійний, робота рівна:
Робота dA електричного струму I, що протікає по нерухомому провідникові з опором R, перетвориться в теплоту dQ, що виділяється в провіднику. dQ = dA = RI2dt. (3.39) Цей закон перетворення роботи струму в теплоту був експериментально встановлений незалежно один від одного Дж. Джоулем і Е. Ленцем і носить назву закону Джоуля-Ленца. Якщо в провіднику виділити елементарний об'єм dV=dSdl, то за законом Джоуля -Ленца, за час dt в цьому об'ємі виділиться кількість теплоти:
Кількість теплоти, що виділяється за одиницю часу в одиниці об'єму називається тепловою потужністю струму. Вона рівна
Використовуючи диференціальну форму запису закону Ома (J=γ E) і співвідношення ρ =1/γ;, отримаємо
Вираз (3.40) є законом Джоуля-Ленца в диференціальній формі.
. (3.41)
Зовнішнім колом може бути не лише провідник з опором R, але і який-небудь пристрій, споживаючий потужність, наприклад, електродвигун постійного струму. В цьому випадку під R треба розуміти еквівалентний опір навантаження. Енергія, що виділяється в зовнішньому колі, може частково або повністю перетворюватися не лише в тепло, але і в інші види енергії, наприклад, в механічну роботу, що здійснюється електродвигуном. Тому питання про використання енергії джерела струму має велике практичне значення.
. (3.42)
(3.43) Відношення рівне
називається коефіцієнтом корисної дії джерела. На рисунку 3.28 графічно представлені залежності потужності джерела Pдж, корисної потужності P, що виділяється в зовнішньому колі, і коефіцієнта корисної дії η від струму I для джерела з ЕРС, рівною ε;, і внутрішнім опором r.
Рисунок 3.28. Приклад розв’язку задачі. Сила струму в провіднику опором 20 Ом наростає протягом 2 с за лінійним законом від 0 до 6 А. Визначити кількість теплоти, яка виділиться в провіднику за першу і другу секунду. Розв’язок. Закон Джоуля Ленца у вигляді Q=I2Rt справедливий для постійного струму. Якщо струм в провіднику міняється, цей закон необхідно записати в диференціальному вигляді: dQ=I2Rdt У цьому законі сила струму є деякою функцією часу. В даному випадку струм міняється за лінійним законом I=I0+kt Оскільки у момент часу I0 сила струму дорівнює 0, а k - коефіцієнт пропорційності, який показує швидкість зміни сили струму
Тоді dQ=k2Rt2 dt Для визначення теплоти, що виділилася за кінцевий інтервал часу Δ t цей вираз треба проінтегрувати в межах від t1 до t2
Проведемо обчислення: § 48. Класична теорія електропровідності металів Електричний струм в металах - це впорядкований рух електронів під дією електричного поля. Досліди показують, що при протіканні струму по металевому провідникові не відбувається перенесення речовини, отже, іони металу не беруть участі в перенесенні електричного заряду. Найбільш переконливий доказ електронної природи струму в металах був отриманий в дослідах з інерцією електронів. Ідея таких дослідів і перші якісні результати належать російським фізикам Л. І. Мандельштаму і Н. Д. Папалескі (1913 р.). У 1916 році американський фізик Р. Толмен і шотландський фізик Б. Стюарт удосконалили методику цих дослідів і виконали кількісні виміри, що неспростовно довели, що струм в металевих провідниках обумовлений рухом електронів. Схема досліду Толмена і Стюарта показана на рисунку 3.29. Котушка з великим числом витків тонкого дроту приводилася в швидке обертання навколо своєї осі. Кінці котушки за допомогою гнучких дротів були приєднані до чутливого балістичного гальванометра Г. Розкручена котушка різко гальмувалася, і в колі виникав короткочасних струм, обумовлений інерцією носіїв заряду. Повний заряд, що протікає по колу, вимірювався по відхиленню стрілки гальванометра.
Рисунок 3.29. Хороша електропровідність металів пояснюється високою концентрацією вільних електронів, що дорівнює по порядку величини числу атомів в одиниці об'єму. Припущення, що за електричний струм в металах відповідальні електрони, виникло значно раніше за досліди Толмена і Стюарта. Ще в 1900 році німецький учений П. Друде на основі гіпотези про існування вільних електронів в металах створив електронну теорію провідності металів. Ця теорія отримала розвиток в роботах голландського фізика Х. Лоренца і носить назву класичної електронної теорії. Згідно цієї теорії, електрони в металах поводяться як електронний газ, багато в чому схожий на ідеальний газ. Електронний газ заповнює простір між іонами, що утворюють кристалічні грати металу (рис. 3.30).
Рисунок 3.30. Із-за взаємодії з іонами електрони можуть покинути метал, лише здолавши так званий потенціальний бар'єр. Висота цього бар'єру називається роботою виходу. При звичайних (кімнатних) температурах у електронів бракує енергії для подолання потенціального бар'єру. Як іони, що утворюють кристалічні грати, так і електрони беруть участь в тепловому русі. Іони здійснюють теплові коливання поблизу положень рівноваги - вузлів кристалічної грати. Вільні електрони рухаються хаотично і при своєму русі стикаються з іонами грат. В результаті таких зіткнень встановлюється термодинамічна рівновага між електронним газом і гратами. Згідно теорії Друде-Лоренца, електрони мають таку ж середню енергію теплового руху, як і молекули одноатомного ідеального газу. Це дозволяє оцінити середню швидкість vт теплового руху електронів по формулах молекулярно-кінетичної теорії. При кімнатній температурі вона виявляється приблизно рівною 105 м/с. При накладенні зовнішнього електричного поля в металевому провіднику окрім теплового руху електронів виникає їх впорядкований рух (дрейф), тобто електричний струм. Середню швидкість vд дрейфу можна оцінити з наступних міркувань. За інтервал часу Δ t через поперечний переріз S провідника пройдуть усі електрони, що знаходилися в об'ємі Svд Δ t Число таких електронів рівне nSvд Δ t, де n - середня концентрація вільних електронів, приблизно рівна числу атомів в одиниці об'єму металевого провідника. Через переріз провідника за час Δ t пройде заряд Δ q=enSvдΔ t Так як:
Концентрація n атомів в металах знаходиться в межах 1028-1029 м-3. Оцінка по цій формулі середньої швидкості vд впорядкованого руху електронів, для металевого провідника перерізом 1 мм2, по якому тече струм 10 А, дає для значення в межах 0, 6-6 мм/c. Таким чином, середня швидкість vд впорядкованого руху електронів в металевих провідниках на багато порядків менше середньої швидкості vт їх теплового руху Рисунок 3.31 дає уявлення про характер руху вільного електрона в кристалічній граті.
Рисунок 3.31. Мала швидкість дрейфу не суперечить дослідному факту, що струм в колі постійного струму встановлюється практично миттєво. Замикання кола викликає поширення електричного поля із швидкістю c = 3·108 м/с. Через час порядку l /с (l - довжина кола) уздовж кола встановлюється стаціонарний розподіл електричного поля і в ній починається впорядкований рух електронів. У класичній електронній теорії металів передбачається, що рух електронів підпорядковується законам механіки Ньютона. У цій теорії нехтують взаємодією електронів між собою, а їх взаємодію з позитивними іонами зводять тільки до зіткнень. Передбачається також, що при кожному зіткненні електрон передає гратам усю накопичену в електричному полі енергію і тому після зіткнення він починає рух з нульовою дрейфовою швидкістю. Не дивлячись на усі ці допущення, класична електронна теорія якісно пояснює закони електричного струму в металевих провідниках. Закон Ома У проміжку між зіткненнями на електрон діє сила, рівна по модулю eE, внаслідок чого він набуває прискорення а. Тому до кінця вільного пробігу дрейфова швидкість електрона становить:
де τ - час вільного пробігу, який для спрощення розрахунків передбачається однаковим для усіх електронів. Середнє значення швидкості дрейфу дорівнює половині її максимального значення:
Розглянемо провідник довжини l і перерізом S з концентрацією електронів n. Струм в провіднику може бути записаний у виді:
Так. як
Отримана формула виражає закон Ома для металевого провідника. Коефіцієнт пропорційності між J і E не що інше, як питома провідність матеріалу провідника.
|
Німецький фізик Георг Ом в 1826 році експериментально встановив, що сила струму I, що протікає по однорідному металевому провіднику, пропорційна напрузі U на кінцях провідника:
Для однорідного лінійного провідника опір прямо пропорційний його довжині l і обернено пропорційний до площі поперечного перерізу S:
(3.34)
(3.36)
Якщо точки a і b замкнути провідником, опір якого малий в порівнянні з внутрішнім опором джерела (R < < r), тоді в колі потече струм короткого замикання
.
. (3.38)
.
. (3. 40)
Потужність електричного струму дорівнює відношенню роботи струму dA до інтервалу часу dt, за який ця робота була здійснена:
Повна потужність джерела, тобто робота, що здійснюється сторонніми силами за одиницю часу, рівна
У зовнішньому колі виділяється потужність (корисна потужність)
(3.44)
тоді 
.
, де l - середня довжина вільного пробігу електронів, а vт середня швидкість теплового руху електронів густина струму дорівнює:
. (3. 45)
. (3. 46)
