Введение. Элемент в электрической цепи называется линейным, если его параметры не зависят от силы тока или напряжения на этом элементе

Элемент в электрической цепи называется линейным, если его параметры не зависят от силы тока или напряжения на этом элементе. Полупроводниковый диод, электронная лампа, неоновая и ртутная лампы являются типичными представителями нелинейных элементов в электрической цепи. Изменение сопротивления резистора, связанное с его нагреванием при протекании тока, является причиной нелинейности резистора как элемента электрической цепи. Если электрический ток, проходящий через резистор мал так, что изменением сопротивления можно пренебречь, то резистор можно считать линейной нагрузкой в электрической цепи.

На рис. 1 представлена электрическая схема установки, в которой реализуются процессы заряда и разряда конденсатора емкостью C через линейное сопротивление R. В положении 1 переключателя П происходит заряд, а в положении 2 – разряд конденсатора через резистор R.

 

Рис.1

 

В процессе заряда конденсатора сумма напряжений на элементах рассматриваемой замкнутой цепи в любой момент времени будет равна ЭДС E источника тока:

 

U_R + U_C = E, или (1)

 

Здесь q и I – заряд на обкладках конденсатора и сила тока в цепи в некоторый момент времени. Принимая во внимание, что получим дифференциальное уравнение для заряда на обкладках конденсатора:

 

или (2)

 

Разделим переменные (q и t) в уравнении (2):

 

(3)

 

Интегрируя это уравнение, получим:

 

(4)

 

где A – постоянная интегрирования. Отсюда

 

и (5)

 

Постоянную интегрирования B найдем из граничного условия: в начальный момент времени t =0 заряд q на обкладках конденсатора равен нулю. Для выполнения этого условия необходимо положить B = – CE. Подставляя это в выражение (5), окончательно получим:

 

(6)

 

Функция (6) описывает экспоненциальное нарастание величины заряда на обкладках конденсатора с течением времени до максимального значения q_m=CE. Соответствующий график зависимости q от t представлен на рис. 2.

 

 

Рис. 2

Рассмотрим процесс разряда конденсатора после перевода переключателя в положение 2 (см. рис. 1). В этом случае источник ЭДС отключается, и в любой момент времени сумма напряжений на элементах замкнутой цепи равна нулю:

 

или (7)

 

Полученное уравнение легко преобразуется к виду

 

(8)

 

Интегрирование этого уравнения дает:

 

(9)

 

Постоянную интегрирования найдем из граничного условия: при t= 0 заряд на конденсаторе максимален и равен q_m. Это дает: A=q_m.

Таким образом, при разряде конденсатора заряд на его обкладках изменяется по закону

(10)

 

На рис. 3 показан график функции (10).

 

Рис. 3

 

Уравнения (6) и (10) показывают, что процессы заряда и разряда происходят не мгновенно, а с конечной скоростью. Быстрота установления электрического равновесия зависит от величины

τ = RC, (11)

 

имеющей размерность времени и называемой временем релаксации. Согласно (10) за время t = τ величина заряда на обкладках конденсатора уменьшается в е раз.

Измеряя напряжение на конденсаторе (U = q/C) в различные моменты времени в процессе заряда и разряда конденсатора, легко убедится в справедливости закономерностей (6) и (10). В реальном эксперименте необходимо обеспечить такие параметры R и C, при которых время релаксации будет составлять десятки секунд. При C = 20 мкФ резистор должен иметь сопротивление порядка 1 МОм. В таком случае вольтметр, с помощью которого производится измерение напряжения на конденсаторе, должен иметь гораздо большее сопротивление. От этой трудности можно уйти, если исследовать зависимость силы тока от времени в процессе заряда и разряда конденсатора. Действительно, используя функции (6) и (10), легко получить, что закон изменения силы тока во времени в том и другом процессах имеет одинаковый вид:

(12)

 

где I ₀= q_m/τ – сила тока в начальный момент времени.

Логарифмируя выражение (12), мы получим:

 

(13)

 

Таким образом, теоретический анализ переходных процессов, происходящих при заряде и разряде конденсатора, приводит к выводу о линейной зависимости натурального логарифма силы тока от времени в этих процессах.

Изучению зависимости силы тока от времени в процессах заряда и разряда конденсатора и посвящена данная лабораторная работа.