Однородные уравнения первого порядка

 

Напомним сначала понятие однородной функции двух переменных.

Определение. Функция называется однородной функцией k -го измерения (степени k), если для всех t выполняется соотношение

.

 

Например, функция однородная функция 2-го измерения, так как

,

 

а функция однородная функция нулевого измерения,

ибо

.

 

Определение. Уравнение

 

, (1.21)

 

где однородные функции одного и того же измерения, называется однородным.

Однородное уравнение всегда приводится к виду

 

, (1.22)

 

где функция одной переменной, т.е. правая часть (1.22) есть однородная функция нулевого измерения.

Однородное уравнение интегрируется посредством подстановки , где новая неизвестная функция переменной х, то есть .

Пример 1. Проинтегрировать уравнение

 

. (1.23)

 

Решение. Здесь функции и - однородные функции первого измерения, так как

 

,

.

 

Следовательно, (1.23) - однородное ОДУ. Положим , тогда . Подставим и в (1.23), будем иметь

 

,

,

. (1.24)

 

Уравнение (1.24) –это уравнение с разделяющимися переменными. Умножением обеих частей на приведем его к уравнению с разделенными переменными

.

Последнее имеет общее решение

 

,

следовательно, при общее решение уравнения (1.23) есть

. (1.25)

 

Заметим, что функция является решением (1.23). Она является частным решением рассматриваемого уравнения, так как соответствующие ей полупрямые лежат в областях существования и единственности уравнения

 

,

получающегося из (1.23) разрешением относительно . Решение не входит в формулу (1.25) ни при каком конечном значении произвольной константы С, т.е. оно оказалось потерянным.

Пример 2. Найти общий интеграл уравнения

 

. (1.26)

 

Решение. ОДУ (1.26) - однородное, так как правая часть его является однородной функцией нулевого измерения. Полагая , где новая неизвестная функция от , найдем . Подставляя и в уравнение (1.26), получим

,

,

. (1.27)

Уравнение (1.27) – это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, приведем его к виду

.

Общим интегралом последнего уравнения является соотношение

,

следовательно, общим интегралом уравнения (1.26) будет соотношение

.

При интегрировании (1.27) мы считали , поэтому остается проверить, не являются ли полупрямые интегральными кривыми ОДУ (1.26). Подставляя в (1.26) убедимся в том, что эта функция рассматриваемому уравнению не удовлетворяет.