Черт. 1

координаты точки М через х и у (ОН = х, НМ = у) и выразим стороны треугольника ЕО и ОМ через х и у. Очевидно, что

и ЕО = ЕН — ОН. Обозначим и из прямоугольного треугольника МЕН получим:

.

(так как ЕМ касательная к кривой в точке М и, следовательно, ). Используя это равенство, получаем:

.

Так как треугольник MEO равнобедренный, то

. (6)

Равенство (6) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка, из которого надо найти ординату «у» кривой AВ, как функцию абсциссы, что и определит форму кривой сечения рефлектора. Уравнение (6) более сложное, чем в предыдущей задаче, поэтому решение этого уравнения будет проведено в §5 главы I, где будет указан прием решения уравнений такого типа.

Задача 3. Имеется замкнутая электрическая цепь с сопротивлением R и силой тока I ₀. В некоторый момент времени, которые мы примем за начальный (t = 0), постоянный ток I ₀ размыкается. Требуется выяснить, прекратится ли сразу ток в цепи, а если нет то как он будет убывать.

Выключение постоянной электродвижущей силы, поддерживавшей силу тока I ₀ в цепи, вызывает, вследствие изменения магнитного поля тока I ₀, возникновение электродвижущей силы индукции (явление самоиндукции). Таким образом, в цепи инду­цируется ток под действием одной лишь электродвижущей силы самоиндукции; он называется «экстратоком размыкания». Экстраток размыкания направлен в ту же сторону, что и основной ток. Известно, что эта электродвижущая сила самоиндукции пропор­циональна скорости изменения силы тока (коэффициент пропор­циональности называется коэффициентом самоиндукции), т. е. имеет вид:

,

где I — переменная сила экстратока размыкания и L — коэффи­циент самоиндукции.

По закону Ома имеем:

; (7)

это равенство представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка, из которого надо определить силу экстратока размыкания как функцию времени. Собираем в уравнении (7) члены, содержащие переменную I, в левую часть и члены, содер­жащие переменную t, в правую часть:

.

Как и в задаче 1, переписываем последнее равенство в виде:

,

откуда получаем:

.

(постоянную прибавляем в виде логарифма постоянной, так как это удобнее для дальнейших преобразований). Потенцируя, полу­чаем:

, (8)

что и дает искомое выражение силы экстратока размыкания через t. Опять-таки в условиях данной задачи можно выяснить, что постоянная С может иметь только одно вполне определенное значение. Для этого положим t = 0 в формуле (8), причем I обратится в I ₀:

, т. е. .

Подставляя полученное значение С в формулу (8), имеем:

. (9)

Эта формула дает определенный ответ на вопрос, поставленный в задаче: при размыкании тока сила тока в цепи не сразу падает до нуля, а постепенно спадает по показательному закону (это уменьшение происходит быстро: например, если L= 0, 1 гн и R= 0, 7 ом, то за 0, 1 секунды сила тока при размыкании спа­дет до ½ I ₀).

Аналогичное исследование с помощью дифференциального уравнения можно провести и для изучения экстратока замыкания.

Задача 4. Пусть два вещества A и В, находящиеся в растворе, вступают в необратимую химическую реакцию. Требуется найти формулу, по которой можно было бы подсчитать в любой момент времени количество вещества, уже вступившего в реакцию.

Обозначим через а и b количества этих веществ (в грамм-молекулах на единицу объема) в начале реакции, т. е. при t = 0 (пусть, например, а< b), и через x — одинаковое количество того и другого вещества, уже вступившего в реакцию к моменту вре­мени t. В этот момент времени в единице объема находится а—х грамм-молекул вещества А и b—х грамм-молекул вещества В. Известно, что по закону химического взаимодействия масс ско­рость химической реакции для некоторых типов реакций пропор­циональна произведению (а—х)·(b—х). Так как скорость хи­мической реакции есть скорость увеличения х, то она является производной от х по времени, и поэтому закон химического взаи­модействия масс может быть записан следующим образом:

, (10)

где к — коэффициент пропорциональности. Уравнение (10) есть дифференциальное уравнение первого порядка, где неизвестной является функция х (t). Для того чтобы найти эту функцию, посту­пим так же, как в задачах 1 и 3, а именно, отделим переменные t и х друг от друга, уединив члены с х в левой части уравнения и члены с t в правой:

.

Последнее равенство можно переписать в виде:

,

откуда:

.

Умножаем на (а—b):

и, потенцируя, получаем:

. (11)

Обозначим для простоты второй постоянный множитель одной буквой

и найдем из (11) выражение искомой функции х (t) через время:

,

. (12)

Конкретное числовое значение постоянной С₁ для данной задачи можно найти опять-таки с помощью начальных условий: при t = 0, х = 0. Подставляем начальные условия в (12):

,

откуда .Подставляем найденное значение С₁ в (12):

,

упрощая, получаем:

. (13)

Эта формула и дает окончательное выражение для количества вещества, вступившего в реакцию к моменту времени t. Легко видеть, что при возрастании t величина х приближается к а.

Задача 5. Гибкая однородная нерастяжимая нить подвешена за два конца и провисает под действием силы тяжести. Найти уравнение кривой, по которой происходит провисание.

Выберем наиболее удобное расположение нити в координатной системе, указанное на чертеже 2, а именно: направим силу тя­жести по отрицательному направлению оси ОY и расположим нить симметрично относительно оси ОY (числовое значение длины отрезка ОD = а будет указано ниже). Возьмем бесконечно малый участок нити от А до В длиной (в наших рассуждениях вместо бесконечно малых приращений переменных величин мы будем брать дифференциалы этих величин, так как бесконечно малые приращение и дифференциал функции разнятся друг от друга только бесконечно малыми высших порядков малости). Рассмот­рим силы, действующие на этом участке: в точке А действует натяжение S влево от A; в точке В действует натяжение S+dS вправо от В; также на участке АВ действует сила тяжести, на­правленная вертикально вниз и по величине равная

,

где q —линейная плотность нити (по условию задачи q=const). Когда нить находится в состоянии равновесия, сумма всех сил, действующих на участке АВ, равна нулю. Разложим все силы на

 

O

X

Y

S+dS

H+dH

mg

s

H

B

A

D

a

 

V+dv

 

 

v