Общие понятия. Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) первого порядка называется уравнение вида

 

Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) первого порядка называется уравнение вида

 

, (1.1)

где - независимая переменная; - искомая функция этой переменной; - производная от по ; - заданная функция своих аргументов.

Определение. Непрерывно дифференцируемая на некотором интервале функция , которая при подстановке в уравнение (1.1) обращает его в тождество по на , называется решением этого уравнения.

График решения ОДУ (1.1) есть его интегральная кривая.

Если уравнение (1.1) удается записать в виде

 

, (1.2)

 

то последнее называют ОДУ, разрешенным относительно производной. В настоящем учебном пособии рассматриваются именно такие уравнения.

Часть плоскости , в которой функция непрерывна, называется областью задания ОДУ (1.2).

Определение. Задачей Коши для уравнения (1.2) называется задача отыскания решения этого уравнения, удовлетворяющего условию

 

. (1.3)

 

Условие (1.3) – начальное условие, а числа - начальные данные задачи Коши.

Геометрическая интерпретация задачи Коши – найти интегральную кривую ОДУ (1.2), проходящую через точку .

Говорят, что решение задачи Коши для уравнения (1.2) с начальным условием (1.3) единственно, если существует такая окрестность точки , что

1) в этой окрестности определено решение с начальными данными ;

2) не существует другого решения с начальными данными , определенного в той же окрестности.

Имеет место следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Теорема. Если в области плоскости функция и ее частная производная непрерывны по совокупности аргументов, то существует единственное решение уравнения (1.2), удовлетворяющее начальному условию

 

.

Пусть есть область в плоскости , через каждую точку которой проходит одна и только одна интегральная кривая ОДУ (1.2). В дальнейшем такую область условимся называть областью существования и единственности решения задачи Коши или, более кратко, областью существования и единственности рассматриваемого уравнения.

Определение. Функция , (1.4)

пределенная в некоторой области изменения переменных и и непрерывно дифференцируемая по , называется общим решением уравнения (1.2) в области , если

1) равенство (1.4) разрешимо в относительно :

 

, (1.5)

2) функция (1.4) является решением ОДУ (1.2) при всех значениях , определяемых формулой (1.5), когда точка пробегает

область .

Переменная в (1.4) называется произвольной постоянной (константой).

Определение. Равенство , неявно задающее общее решение, называется общим интегралом ОДУ (1.2).

Решение уравнения (1.2) называется частным, если в каждой точке соответствующей ему интегральной кривой сохраняется единственность решения задачи Коши. Через каждую точку такой кривой проходит единственная интегральная кривая уравнения (1.2).

Определение. Решение , получающееся из общего решения (1.4) фиксированием произвольной константы , есть частное решение.

Определение. Говорят, что решение уравнения (1.2) особое, если в каждой точке соответствующей ему интегральной кривой нарушается единственность решения задачи Коши.

Если функция , в правой части ОДУ (1.2) непрерывна по и имеет частную производную по (ограниченную или нет), то особыми решениями могут быть только те кривые, во всех точках которых

.

Если в некоторых точках плоскости функция обращается в бесконечность, то в окрестности таких точек рассматривают перевернутое по отношению к (1.2) уравнение

 

, (1.6)

в котором считают функцией от . Совокупность таких точек присоединяют к области задания уравнения (1.2), а решения уравнения (1.6) – к решениям ОДУ (1.2).

Уравнениям (1.2) и (1.6) равносильно ОДУ первого порядка в дифференциальной форме вида

 

. (1.7)

 

Оно не задано в тех точках , где непрерывные функции и обращаются в нуль одновременно. В уравнение (1.7) переменные и входят равноправно. При решении конкретных уравнений вида (1.7) часто бывает удобно в отличие от традиционных обозначений рассматривать переменную величину как функцию от .

Ниже в пунктах 1.2 – 1.6 рассматриваются различные типы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, и методы их решения.