Уравнения в полных дифференциалах

 

Определение. Дифференциальное уравнение вида

 

(1.50)

 

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции независимых переменных .

Общий интеграл такого уравнения имеет вид

 

.

 

Следующая теорема дает признак того, что уравнение вида (1.50) является уравнением в полных дифференциалах.

Теорема. Если функции и непрерывны вместе с частными производными и в некоторой односвязной области плоскости , то левая часть уравнения (1.50) будет являться полным дифференциалом некоторой функции тогда и только тогда, когда выполняется тождество

 

. (1.51)

 

Интегрирование уравнения в полных дифференциалах сводится к нахождению по функциям и соответствующей функции . Особые решения отсутствуют.

Пример 1 Проинтегрировать уравнение

.

 

Решение. Данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах, так как функции и непрерывны во всей плоскости вместе со своими частными производными, при этом выполняется условие (1.46):

 

.

Таким образом, левая часть данного уравнения является полным дифференциалом некоторой функции . Так как , то имеем соотношения

.

Из первого, интегрированием по х, получаем

 

или

. (1.52)

 

Здесь непрерывно дифференцируемая функция, постоянная интегрирования. Считаем ее зависящей от , ибо интегрирование производилось по х. Из (1.52) находим

 

.

Так как, с другой стороны,

 

,

то имеем следующее уравнение для определения :

 

,

или

.

Отсюда находим

 

,

то есть

, (1.53)

где произвольная константа. Подставляя (1.53) в (1.52), имеем семейство функций

,

для которых левая часть данного уравнения является полным дифференциалом. Таким образом, наше уравнение можно записать в виде

,

откуда его общий интеграл есть

.

 

1.6.1 Примеры для самостоятельного решения

 

Выяснить, являются ли следующие уравнения уравнениями в полных дифференциалах, и найти их общее решение.

 

1

отв:

 

2

отв:

 

3

отв: