Решение. 1) Интегрируя первый раз, получим

1) Интегрируя первый раз, получим . После повторного интегрирования будем иметь

 

Следовательно, - общее решение.

2) Чтобы найти частное решение, подставим в полученное общее решение и в выражение для первой производной значения и , получим систему двух уравнений с неизвестными и :

Подставив найденные и в общее решение получим искомое частное решение .

 

2.2.2 Уравнение вида

. (2.7)

 

Уравнение (2.7) не содержит искомой функции и ее нескольких последовательных производных (производных до (k-1) включительно). С помощью замены понизим порядок уравнения на единиц, тогда

 

. (2.8)

Общее решение уравнения (2.8) имеет вид

.

 

Тогда искомая функция решение уравнения (2.7) получается с помощью кратного интегрирования функции (см. п. 2.2.1).

Для дифференциального уравнения второго порядка не содержащего явно искомой функции y подстановка , тогда преобразует данное уравнение в уравнение I порядка

Пример Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное уравнение не содержит и . Положим , тогда и уравнение будет иметь вид: . Это линейное уравнение первого порядка (см. п.1.4.). Его общее решение имеет вид . Так как , то для отыскания искомого общего решения надо проинтегрировать уравнение . Таким образом,

,

тогда

.

Следовательно, , где - произвольные постоянные, является общим решением заданного уравнения.

 

 

2.2.3 Уравнения вида

. (2.9)

 

Уравнение (2.9) не содержит явно независимую переменную . В этом случае примем за независимую переменную и введем новую функцию . Считая, что есть функция от и через посредство зависит от и, применяя правило дифференцирования сложных функций, получим для производных от по выражения

 

,

 

,

 

аналогично вычисляются .

Подставляя в уравнение (2.9) вместо и т.д., увидим, что в новых переменных порядок уравнения будет , т.е. на единицу ниже.

Если это преобразованное уравнение проинтегрировано и - его решение, то нахождение общего интеграла данного уравнения сводится к интегрированию

.

Откуда получаем общее решение ОДУ (2.9)

 

.

Одна из произвольных постоянных входит в качестве слагаемого к , а это означает, что всякую интегральную кривую можно перемещать параллельно оси .

Если дифференциальное уравнение не содержит независимой переменной x, искомой функции y(x) и ее производных до (k-1) порядка включительно, то порядок уравнения можно понизить на (k+1) применяя подстановку

, а затем .

Например, для дифференциального уравнения второго порядка, не содержащего независимой переменной x, т.е. уравнение имеет вид подстановка сводит уравнение к уравнению первого порядка

Пример Найти общий интеграл уравнения .

 

Решение. Положим

и подставим в исходное уравнение, тогда получим

 

.

 

Сократим на , при этом учтем теряемое решение или и получим

.

Это уравнение рассматриваемого вида, делая ту же замену придем к уравнению

.

Сократив на (при этом учитываем еще одно решение , т.е. и ), получим

 

.

Проинтегрировав уравнение , находим , или Окончательно получим

, где .

Это семейство парабол. Заметим, что в общее решение входят и потерянные ранее частные решения (кроме ).