Определитель Вронского. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости решений

 

Определение. Если и - два решения уравнения (2.11), то выражение, составленное из них

 

, (2.12)

 

называется определителем Вронского.

В дальнейшем будем рассматривать решения уравнения (2.11) на промежутке непрерывности коэффициентов , .

Необходимое и достаточное условие линейной зависимости решений дает

Теорема. Равенство нулю определителя Вронского является необходимым и достаточным условием линейной зависимости решений и , т.е. два решения и уравнения (2.11) линейно независимы тогда и только тогда, когда определитель Вронского отличен от нуля.

Лемма. Если и - два линейно независимых решения уравнения (2.11), то формула

 

, (2.11а)

 

где и - произвольные постоянные, дает все решения этого уравнения.

Теорема. Если - частное решение уравнения (2.11), то второе его решение, линейно независимое с первым, можно найти по формуле

Пример. Записать общее решение уравнения , если известно его частное решение .

Решение. В нашем случае и используя формулу получаем:

=

Общее решение:

Определение. Определителем Вронского (вронскианом) системы функций называется определитель

 

. (2.13)

 

На решения уравнения (2.10) распространяются определения линейной зависимости (независимости) и теорема о необходимом и достаточном условии линейной зависимости решений.

 

Пример. Исследовать на линейную зависимость системы функций:

1. ;

2. .

 

Решение.

1. Составив и вычислив вронскиан по формуле (2.12)

, получим, что система функций - линейно независима.

2. Составив и вычислив вронскиан по формуле (2.13)

получим, что система функций - линейно зависима.

Определение. Всякая система из линейно независимых решений уравнения (2.10) называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Если известна фундаментальная система решений уравнения (2.10), то общее решение этого уравнения имеет вид

 

, (2.14)

 

где произвольные постоянные.

Пример. Функции образуют фундаментальную систему решений уравнения . Найти общее решение этого уравнения.

Решение. По формуле (2.14) имеем , где произвольные постоянные.