Коэффициентами. Общий вид линейного дифференциального уравнения порядка с постоянными коэффициентами есть

 

Общий вид линейного дифференциального уравнения порядка с постоянными коэффициентами есть

 

, (2.18)

где - действительные постоянные.

Определение. Уравнение

, (2.19)

полученное заменой производных искомой функции степенями , называется характеристическим уравнением для уравнения (2.18).

Каждому действительному корню уравнения (2.19) кратности соответствуют линейно независимых решений уравнения (2.18)

 

, (2.20)

а каждой паре комплексных корней кратности соответствуют пар линейно независимых решений:

 

(2.21)

Запишем общее решение для случая . Рассмотрим уравнение

 

, (2.22)

где - действительные числа.

Характеристическое уравнение для (2.22) имеет вид

 

. (2.23)

Если квадратное уравнение (2.23) имеет два различных действительных корня и , то согласно (2.20) имеем два линейно независимых решения уравнения (2.22)

 

.

Общее решение имеет вид

 

, (2.24)

где - произвольные постоянные.

Если квадратное уравнение (2.23) имеет комплексные корни , тогда согласно (2.21) имеем два линейно независимых решения уравнения (2.22)

 

.

 

Общее решение имеет вид

. (2.25)

 

Если квадратное уравнение (2.23) имеет два равных действительных корня , то согласно (2.20) имеем два линейно независимых решения уравнения (2.22)

 

.

Общее решение уравнения имеет вид

. (2.26)

Примеры. Найти общее решение уравнений:

 

1 ;

2 ;

3 .