Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Уравнения со специальной правой частью




 

В двух частных случаях, когда правая часть уравнения (2.14) имеет вид , где - многочлен -й степени, - число, или , где - многочлены степени и , соответственно, - числа, частное решение уравнения (2.14) можно найти методом неопределенных коэффициентов.

А именно, пусть правая часть имеет вид . Если не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

 

, (2.26)

 

где - многочлен той же степени, что и , но с неопределенными коэффициентами, которые надо найти. Для чего, вычисляя с помощью (2.26) и подставляя в исходное уравнение (2.14), сокращаем правую и левую части на . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений для отыскания неопределенных коэффициентов. Подставив их в (2.26), будем иметь искомое частное решение .

Если совпадает с некоторым корнем характеристического уравнения кратности , то частное решение ищется в виде

 

. (2.27)

Дальнейшие действия аналогичны предыдущему случаю.

Пусть теперь правая часть уравнения (2.14) имеет вид .

Если число не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

 

, (2.28)

где , и многочлены одной и той же степени , но с разными неопределенными коэффициентами, которые находятся так же как и в первом случае.

Если совпадает с некоторым корнем характеристического уравнения кратности , то выражение для частного решения (2.28) домножается на , а именно

 

, (2.29)

 

где , , те же, что и выше.

Замечание 1. Если в правой части один из многочленов или нулевой (т.е. или ), то вид частного решения не меняется, т.е. ищется в форме (2.28) или (2.29).

Замечание 2. Многочлены с неопределенными коэффициентами четвертой, третьей, второй, первой, нулевой степени имеют вид:

 

где неопределенные коэффициенты; многочлены и выписываются аналогично .

 

Примеры.

1. Для каждого из данных неоднородных дифференциальных уравнений написать вид его общего и частного решений с неопределенными коэффициентами (числовые значения коэффициентов не находить):

а) ,

б) .

2. Найти общие решения следующих уравнений:

в) ,

г) .

 

Решения.

а) Рассмотрим уравнение . Ищем общее решение в виде . Характеристическое уравнение имеет корни , т.е. кратность корня равна 2. Согласно формуле (2.26) общее решение соответствующего однородного уравнения .

Для того, чтобы выписать частное решение проанализируем правую часть , где многочлен 1-й степени, т.е. , тогда , т.е. совпадает с одним корнем кратности 2 характеристического уравнения, следовательно, имеет место формула (2.27): , где и неопределенные коэффициенты. Общее решение исходного уравнения имеет вид

б) Для уравнения соответствующее характеристическое уравнение имеет кратные корни , , т.е. . Согласно формуле (2.25) с учетом кратности корней получим общее решение соответствующего однородного уравнения

 

 

Для того, чтобы выписать частное решение анализируем правую часть , где т.е. . Следовательно, многочлены с неопределенными коэффициентами и имеют одну и ту же степень , но разные коэффициенты, т.е. . Составим число (так как ), поскольку не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде (2.28)

, а общее решение есть

.

 

в) Общее решение уравнения ищется в виде . Характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение соответствующего однородного уравнения есть .

Правая часть неоднородного уравнения , где , откуда совпадает с одним корнем характеристического уравнения , следовательно, по формуле (2.27) частное решение имеет вид: , где неопределенный коэффициент. Найдем его методом неопределенных коэффициентов, для чего, подставив , в исходное уравнение, будем иметь . Сократим последнее уравнение на , получим . Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях

.

Так как неопределенный коэффициент найден, , то частное решение имеет вид: , следовательно, общее решение исходного уравнения запишется в форме:

.

г) Уравнение это уравнение с правой частью второго типа, его общее решение ищется в виде .

Характеристическое уравнение имеет корни

.

Общее решение однородного уравнения выписывается по формуле (2.24):

.

 

Для отыскания частного решения анализируем правую часть ,здесь тогда число не совпадает с корнями характеристического уравнения, следовательно, выписываем по формуле (2.28): .

Неопределенные коэффициенты и находятся так:

1) Считаем

2) Подставляем в исходное уравнение:

или

3) Приравнивая коэффициенты при и , стоящие в правой и левой частях последнего уравнения, получим систему для определения коэффициентов и :

4) Итак, частное решение имеет вид , следовательно, общее решение исходного уравнения запишется в форме:

 

 







Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 486. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.033 сек.) русская версия | украинская версия