Коэффициентами
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
где Общее решение этого уравнения записывается в виде
Пример. Найти общее решение уравнения
1. Решим однородное уравнение
Для нахождения частного решения неоднородного уравнения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Ищем частное решение в виде
Умножив обе части второго уравнения на
Подставив
Сложив уравнения (1) и (3) будем иметь Интегрирование дает выражения для
Итак, Учитывая, что
|
, (2.14)
действительные числа.
, где 
- общее решение соответствующего однородного уравнения (2.11), 
любое частное решение уравнения (2.14). Общее решение ОДУ (2.10) 
, для отыскания 
в общем случае используется метод Лагранжа вариации произвольных постоянных, рассмотренный в пункте 2.3.3.
.
. Для чего запишем характеристическое уравнение
. Согласно (2.19), (2.20) фундаментальная система решений будет иметь вид 
, следовательно, общее решение однородного уравнения
.
. Для определения 
составим систему
, третьего - на 
и сложив, получим
.
в уравнение (2), получим
.
.
:
, получим искомое решение неоднородного уравнения
, где 
произвольные постоянные.
