Линейные уравнения

Определение. Дифференциальное уравнение го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно искомой функции и ее производных /

Общий вид уравнения

. (2.10)

где – заданные функции или постоянные. Функция называется правой частью уравнения.

Определение. Если функция , то уравнение (2.10) называется неоднородным линейным уравнением или уравнением с правой частью.

Определение. Если функция , то уравнение (2.10) называется однородным линейным уравнением или уравнением без правой части и имеет вид

Сформулируем некоторые свойства линейных однородных уравнений, ограничиваясь в доказательствах уравнениями второго порядка

(2.11)

 

Лемма. (Свойство решений линейного однородного уравнения)

Решения линейного однородного уравнения (2.11) можно умножать на произвольные постоянные и складывать, после чего опять получается решение уравнения (2.11).

Доказательство. Действительно, если есть решение уравнения (2.11), т.е. , то очевидно , т.е. и также решение уравнения (2.11). Точно так же, если и решения (2.11), то есть также его решение, причем и произвольные постоянные.

Это свойство имеет место для линейного однородного уравнения любого порядка.

Заметим, что уравнение (2.11) всегда имеет нулевое решение. В дальнейшем, говоря о решениях уравнения (2.11) будем подразумевать, что эти решения отличны от нулевого.

Определение. Два решения уравнения (2.11) называются линейно независимыми на отрезке [a, b], если их отношение не является постоянным на этом отрезке, т.е. . В противном случае решения называются линейно зависимыми.

Пример. Рассмотрим линейное уравнение

Функции являются решениями этого уравнения. Это легко проверить подстановкой их в уравнение. Функции. , а функции линейно зависимы .