ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

 

 

Основные понятия

 

Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением го порядка называется уравнение

 

(2.1)

 

или, в разрешенном относительно старшей производной виде

 

. (2.2)

Все дифференциальные уравнения выше первого порядка называются дифференциальными уравнениями высших порядков.

Определение. Всякая функция , имеющая непрерывные производные до порядка и удовлетворяющая уравнению (2.1) или (2.2), называется решением (частным решением) этого уравнения.

Определение. Задача нахождения решений дифференциального уравнения называется задачей интегрирования дифференциального уравнения.

Определение. Задачей Коши для дифференциального уравнения (2.2) называется задача отыскания решения , удовлетворяющего начальным условиям

, (2.3)

 

где - заданные числа.

Определение. Общим решением уравнения (2.1) или (2.2) называется такая функция, , которая при любых допустимых значениях параметров является решением этого дифференциального уравнения, и для любой задачи Коши с условиями (2.3) найдутся постоянные , определяемые из системы уравнений

(2.4)

 

Определение. Уравнение

 

, (2.5)

 

определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

 

Пример Показать, что функция , является решением дифференциального уравнения .