Линейные уравнения первого порядка

 

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

 

(1.28)

 

где – непрерывные на некотором интервале функции.

По теореме существования и единственности решения задачи Коши (см. п.1.1) через каждую точку полосы

 

 

проходит одна и только одна интегральная кривая рассматриваемого уравнения.

Если то уравнение (1.28) называется однородным линейным дифференциальным уравнением.

Это уравнение с разделяющимися переменными, его общее решение есть

 

(1.29)

 

где произвольная постоянная, а означает первообразную функцию для функции .

При уравнение (1.28) называется неоднородным. При интегрировании неоднородного линейного дифференциального уравнения (1.28) применяют так называемый метод вариации произвольной постоянной или метод Лагранжа. Этот метод состоит в том, что общее решение ОДУ (1.28) ищут в таком же виде, что и общее решение соответствующего ему однородного уравнения, т.е. в виде (1.29). Но при этом считают произвольную постоянную непрерывно дифференцируемой функцией от . Иллюстрацию метода проведем на следующих примерах.

 

Пример 1 Проинтегрировать дифференциальное уравнение

 

. (1.30)

 

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

 

(1.31)

 

Уравнение (1.31) - неоднородное линейное дифференциальное уравнение. Однородное уравнение, соответствующее (1.31), есть уравнение вида

которое имеет общее решение

 

или

(1.32)

 

Общее решение ОДУ (1.31) будем искать в виде (1.32), где считаем непрерывно дифференцируемой функцией от , т.е. в виде

 

. (1.33)

 

Из (1.33) находим

.

 

Подставляя и найденное выражение в уравнение (1.31), получаем следующее дифференциальное уравнение для определения :

или

.

Из последнего находим где произвольная постоянная. Подставив в (1.33), получим общее решение ОДУ (1.31):

 

 

Оно, очевидно, есть общее решение и уравнения (1.30).

Пример 2 Найти интегральную кривую уравнения

 

(1.34)

 

проходящую через точку .

Решение. Считая функцией от , приведем данное уравнение к линейному относительно . Для этого обе части (1.34) умножим на функцию тогда будем иметь

 

. (1.35)

 

Уравнение (1.35) проинтегрируем методом Лагранжа. Общее решение однородного линейного уравнения, соответствующего (1.35), есть

 

или

 

Последнее соотношение перепишем в виде

. (1.36)

 

Общее решение ОДУ (1.35) также будем искать в виде (1.36), при этом считаем С учетом последнего из (1.36) находим

 

.

 

Подставим и в (1.35), получим дифференциальное уравнение для определения :

или

 

Из последнего уравнения находим

 

,

 

где произвольная постоянная. Подставим вместо в (1.36), найдем общее решение уравнения (1.35)

 

. (1.37)

 

Ясно, что (1.37) есть общий интеграл и уравнения (1.34). Выделим из него частное решение ОДУ (1.34), удовлетворяющее начальным данным Для этого положим в (1.37) , тогда имеем Следовательно, искомая интегральная кривая уравнения (1.34) задается уравнением

.

Уравнение (1.28) можно решать следующим образом: будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций и

- (подстановка Бернулли)

Найдем производную

подставляя в уравнение 1.28 получаем

(1.38)

Сгруппируем слагаемые в левой части (1.38)

предположим, что функция такова, что она обращает в нуль выражение, стоящее в квадратных скобках, т.е. она является решением дифференциального уравнения

(1.39)

Это уравнение с отделяющимися переменными

(1.40)

Нам достаточно иметь только одно решение этого уравнения, поэтому в первой части мы пишем одну первообразную (c=0)

Найдя функцию , находим функцию из равенства

(1.41)

Уравнение (1.41) также уравнение с разделяющимися переменными.

Таким образом указанный прием (способ Бернулли) сводит решение линейного уравнения (1.28) к решению двух уравнений с разделяющимися переменными, т.е. к решению системы

(1.42)

Линейные уравнения не имеют особых решений.

Пример 3 Найти общее решение уравнения

Решение. В данном примере

Составляем систему (1.42) из уравнения

Получаем

Решаем I уравнение системы

; ; ; (полагаем c=0)

находим функцию из условия ;

Подставляем найденные u и v в формулу , получаем