Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Уравнения Бернулли





 

Определение. Уравнение вида

 

(1.43)

 

где – непрерывные на некотором интервале функции, действительное число, отличное от 0 и 1, называется уравнением Бернулли.

Делением обеих частей на и подстановкой , где новая неизвестная функция, это уравнение приводится к линейному уравнению

 

.

 

Заметим, что при делении обеих частей уравнения (1.43) на при возможна потеря решения . Это решение является частным, если , и особым, если .

Пример 1 Решить уравнение

.

Решение. Обе части уравнения разделим на , тогда будем иметь:

. (1.44)

Положим , откуда . В силу введенной подстановки уравнение (1.44) можно записать следующим образом:

 

или

(1.45)

 

Последнее уравнение – линейное относительно функции . Его общее решение есть

,

 

где произвольная константа (см. п.1.4., пример 1). Отсюда, учитывая, что , записываем общий интеграл исходного уравнения

.

Так как показатель степени в правой части нашего уравнения равен 2, то потерянное при интегрировании решение является частным.

Замечание. При интегрировании уравнения Бернулли можно также непосредственно применить подстановку или метод вариации произвольной постоянной.

Пример 2 Проинтегрировать уравнение

. (1.46)

Решение. Уравнение (1.46) – это уравнение Бернулли. Положим , тогда (1.46) запишется в виде

 

.

или

.

Функцию выберем так, чтобы . Например, пусть . Подставив вместо в последнее уравнение и учитывая, что , для определения будем иметь уравнение

 

. (1.47)

Последнее уравнение – это уравнение с разделяющимися переменными, его общий интеграл есть

 

,

откуда

,

где произвольная константа. Следовательно, общее решение ОДУ (1.46) есть

. (1.48)

 

Заметим, что при интегрировании уравнения (1.47) методом разделения переменных мы теряем решение , это ведет к потере решения уравнения (1.46). Так как в правой части (1.46) стоит степень с показателем , то теряемое решение является особым.

Рассмотрим другой способ решения уравнения (1.46), а именно проинтегрируем его методом вариации произвольной постоянной. Запишем однородное уравнение, соответствующее (1.46):

 

.

 

Его общее решение есть . Пусть С= С (х), тогда общее решение (1.41) будем искать в виде

 

. (1.49)

Подставив и в уравнение, будем иметь

 

,

или

.

Проинтегрировав последнее уравнение, находим

,

или

,

где произвольная константа, . Подставляя С (х) в (1.49), получаем общее решение уравнения (1.49) в форме (1.48)

 

.

 







Дата добавления: 2014-11-12; просмотров: 810. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...


Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Психолого-педагогическая характеристика студенческой группы   Характеристика группы составляется по 407 группе очного отделения зооинженерного факультета, бакалавриата по направлению «Биология» РГАУ-МСХА имени К...

Общая и профессиональная культура педагога: сущность, специфика, взаимосвязь Педагогическая культура- часть общечеловеческих культуры, в которой запечатлил духовные и материальные ценности образования и воспитания, осуществляя образовательно-воспитательный процесс...

Устройство рабочих органов мясорубки Независимо от марки мясорубки и её технических характеристик, все они имеют принципиально одинаковые устройства...

Виды нарушений опорно-двигательного аппарата у детей В общеупотребительном значении нарушение опорно-двигательного аппарата (ОДА) идентифицируется с нарушениями двигательных функций и определенными органическими поражениями (дефектами)...

Особенности массовой коммуникации Развитие средств связи и информации привело к возникновению явления массовой коммуникации...

Тема: Изучение приспособленности организмов к среде обитания Цель:выяснить механизм образования приспособлений к среде обитания и их относительный характер, сделать вывод о том, что приспособленность – результат действия естественного отбора...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия