Уравнения Бернулли
Определение. Уравнение вида
(1.43)
где – непрерывные на некотором интервале функции, действительное число, отличное от 0 и 1, называется уравнением Бернулли. Делением обеих частей на и подстановкой , где новая неизвестная функция, это уравнение приводится к линейному уравнению
.
Заметим, что при делении обеих частей уравнения (1.43) на при возможна потеря решения . Это решение является частным, если , и особым, если . Пример 1 Решить уравнение . Решение. Обе части уравнения разделим на , тогда будем иметь: . (1.44) Положим , откуда . В силу введенной подстановки уравнение (1.44) можно записать следующим образом:
или (1.45)
Последнее уравнение – линейное относительно функции . Его общее решение есть ,
где произвольная константа (см. п.1.4., пример 1). Отсюда, учитывая, что , записываем общий интеграл исходного уравнения . Так как показатель степени в правой части нашего уравнения равен 2, то потерянное при интегрировании решение является частным. Замечание. При интегрировании уравнения Бернулли можно также непосредственно применить подстановку или метод вариации произвольной постоянной. Пример 2 Проинтегрировать уравнение . (1.46) Решение. Уравнение (1.46) – это уравнение Бернулли. Положим , тогда (1.46) запишется в виде
. или . Функцию выберем так, чтобы . Например, пусть . Подставив вместо в последнее уравнение и учитывая, что , для определения будем иметь уравнение
. (1.47) Последнее уравнение – это уравнение с разделяющимися переменными, его общий интеграл есть
, откуда , где произвольная константа. Следовательно, общее решение ОДУ (1.46) есть . (1.48)
Заметим, что при интегрировании уравнения (1.47) методом разделения переменных мы теряем решение , это ведет к потере решения уравнения (1.46). Так как в правой части (1.46) стоит степень с показателем , то теряемое решение является особым. Рассмотрим другой способ решения уравнения (1.46), а именно проинтегрируем его методом вариации произвольной постоянной. Запишем однородное уравнение, соответствующее (1.46):
.
Его общее решение есть . Пусть С= С (х), тогда общее решение (1.41) будем искать в виде
. (1.49) Подставив и в уравнение, будем иметь
, или . Проинтегрировав последнее уравнение, находим , или , где произвольная константа, . Подставляя С (х) в (1.49), получаем общее решение уравнения (1.49) в форме (1.48)
.
|