Уравнениями высших порядков

Выясним связь между системой дифференциальных уравнений первого порядка и одним уравнением высшего порядка. Если имеем, например, одно дифференциальное уравнение третьего порядка

 

, (3.1)

 

то, полагая , можем заменить это уравнение третьего порядка системой трех уравнений первого порядка

(3.2)

 

Уравнение третьего порядка (3.1) и система (3.2) равносильны в следующем смысле: если - решение уравнения третьего порядка, то и есть решение системы (3.2); а если - решение системы, то - решение уравнения третьего порядка (3.1).

Аналогично, имея систему двух уравнений второго порядка

 

(3.3)

 

где и - искомые функции от , мы можем заменить ее системой четырех уравнений первого порядка, вводя четыре неизвестные функции . Прежняя система (3.3) перепишется в виде

 

Можно показать, что, наоборот, интегрирование системы можно заменить интегрированием одного уравнения высшего порядка. Например, систему трех уравнений первого порядка

 

 

можно свести к уравнению третьего порядка относительно следующего вида

 

.

 

На этом основан метод решения систем дифференциальных уравнений – метод исключения неизвестных.

Пример. Рассмотрим систему первого порядка с двумя неизвестными

Решение. Используем метод исключения неизвестных, для чего из уравнения (1) выразим и продифференцируем полученное выражение: . Подставим найденные и в уравнение (2):

 

.

 

Последнее уравнение – это однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение выписывается по формуле (2.23):

 

.

 

Из (3) находится . Для чего, продифференцировав (4), получим , следовательно,

 

.

 

Таким образом, общее решение системы имеет вид

 

 

где произвольные постоянные.

Здесь система из двух уравнений сведена к одному уравнению второго порядка.

Сформулируем основные понятия.

Определение. Система дифференциальных уравнений второго порядка вида

(3.4)

 

называется нормальной системой.

Определение. Решением системы (3.4) на интервале называется совокупность функций , непрерывно дифференцируемых на и обращающих уравнения системы (3.4) в тождества относительно .

Определение. Интегралом нормальной системы (3.4) называется функция , определенная и непрерывная вместе с частными производными в некоторой области изменения переменных и принимающая при любых постоянное значение при подстановке в нее произвольного решения системы.

Определение. Равенство

где - интеграл нормальной системы, а – произвольная постоянная, называется первым интегралом системы (3.4).

Дифференциальное уравнение - го порядка

 

можно свести к нормальной системе (3.4). Обратно, система (3.4) в большинстве случаев сводится к дифференциальному уравнению -го порядка, проинтегрировав которое можно найти и решение исходной системы.

Задача Коши для системы (3.4) ставится следующим образом: найти решение системы (3.4), удовлетворяющее начальным условиям

 

(3.5)

где - заданные числа.

Определение. Общим решением системы (3.4) называется совокупность функций

 

(3.6)

 

зависящих от произвольных постоянных, которые при любых допустимых значениях постоянных обращают уравнения системы (3.4) в тождества, и в области, в которой выполнены условия теоремы Коши, из совокупности функций (3.6) можно получить решение любой задачи Коши.

Пример. Показать, что определенная равенствами

(1)

система функций является общим решением системы уравнений

(2)

из предыдущего примера.

Решение. В качестве области для (2) можно взять область ; при этом для любых и из этой области выполнены условия теоремы Коши. Подставив значения и в систему (1), получим систему уравнений для определения и :

 

 

Определитель этой системы

отличен от нуля при любом . Следовательно, при любых и числа и определяются однозначно, т.е. из системы функций (1) можно получить любое решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений (2).

Пример. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Продифференцируем обе части первого уравнения по , получим

.

В уравнение (2) , подставим из (3): . Из уравнения (1) получим и, подставив в , будем иметь . Следовательно, система двух уравнений первого порядка свелась к одному уравнению второго порядка

 

.

 

Заметим, что , поэтому последнее уравнение будет иметь вид: , откуда

 

Из уравнения (1) имеем т.е.

 

Итак, общее решение исходной системы имеет вид

 

Для нахождения частного решения используем начальные условия Подставив их в общее решение, получим систему для определения и :

 

 

Подставив в общее решение системы, найдем искомое частное решение

 

 

Рассмотрим еще один метод решения нормальной системы дифференциальных уравнений(3.4), когда она представляет собой систему линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, т.е. систему вида:

(3.7)

где - постоянные коэффициенты.

Рассмотрим систему для n=3

Будем искать частное решение системы (3.8) в виде

, , (3.9)

где - постоянные, которые надо подобрать так, чтобы функции (3.9) удовлетворяли системе (3.8). Подставив эти функции в систему и сократив на множитель получаем

или

Система (3.10) однородная система линейных уравнений с тремя неизвестными . Эта система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю, т.е.

 

=0 (3.11)