Основные правила и требования

Каждый студент выполняет один вариант задания. Выбор варианта осуществляется по номеру в журнале группы или по указанию преподавателя. Преподаватель также определяет, какие задачи должен решить каждый студент.

Сроки выполнения и сдачи студентами расчетно-графической работы устанавливаются и контролируются преподавателем в соответствии с рабочей программой по дисциплине. Предварительно проверяется правильность решения задач. Завершающим этапом является защита задания. Во время защиты студент должен уметь правильно отвечать на теоретические вопросы, пояснять решения упражнений и задач, решать задачи аналогичного типа.

В каждый вариант включены основные типы дифференциальных уравнений: первого порядка с разделяющимися переменными; однородные уравнения; линейные и уравнения Бернулли; уравнения в полных дифференциалах; уравнения го порядка, допускающие понижения порядка; линейные с постоянными коэффициентами; системы линейных уравнений.

 

Примерный типовой вариант №0

 

Решить:

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.10

0.11

0.12

0.13

 

0.14 Найти кривую, проходящую через точку (3; 2), для которой отрезок любой её касательной, заключённой между координатными осями, делится пополам в точке касания.

0.15 В 1980 году в городе проживало 100000 жителей. В течение последующих лет население города увеличивалось со скоростью, пропорциональной числу жителей в текущий момент времени. В 1990 году в городе проживало 120000 жителей. Сколько жителей должно проживать в 2000 году?

 

 

Решение примеров типового варианта №0

Пример 0.1

Решение: Разделим переменные:

Проинтегрируем обе части последнего равенства

По свойству логарифмов или окончательно решение дифференциального уравнения имеет вид:

 

Пример 0.2

 

Решение: Данное дифференциальное уравнение относится к типу однородных дифференциальных уравнений , решение которых осуществляется подстановкой . Отсюда , . После подстановки в дифференциальное уравнение получим: разделяем переменные интегрируем обе части уравнения табличные интегралы на основании свойств логарифмов или .

Производя обратную замену , находим общее решение исходного уравнения .

Используя начальное условие , получим: или , т.е. С=1.

Итак, искомое решение имеет вид: y=2x arctgx

 

Пример 0.3

Решение: Данное уравнение относится к типу линейных дифференциальных уравнений первого порядка , которые допускают решения двумя способами:

а. Решение методом Лагранжа – метод вариации произвольной постоянной.

Первоначально решим однородное уравнение, заменив правую часть нулем:

Это уравнение с разделяющимися переменными:

 

 

Интегрируем последнее уравнение и находим

 

 

Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде , где с (x) - неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение к , перейдем к уравнению:

 

После очевидных сокращений, будем иметь

 

Таким образом, получаем общее решение исходного уравнения:

б. Решение методом Бернулли — подстановка .

Подставим в исходное уравнение и :

,

 

или

 

. (4.2.1)

 

Полагаем, что и решаем это дифференциальное урав­нение с разделяющимися переменными. Его решение — . Под­ставляем найденное значение v в оставшуюся часть уравнения (4.2.1): и получаем . После сокращения: . Решаем это уравнение с разделяющимися переменными:

Полученные значения и и v подставляем в формулу у=uv и оконча­тельно находим общее решение исходного дифференциального уравнения в виде

,

который естественно совпадает с ответом, найденным по методу Лагранжа.

 

 

Пример 0.4

Решение: Проверим, не является ли это уравнение дифференци­альным уравнением в полных дифференциалах. Если , а , то , , т.е. . Таким образом данное уравнение является дифференциальным уравнением в полных дифференциалах:

 

.

Поскольку , имеем ;

Из первого уравнения находим:

 

(4.2.2)

Продифференцируем полученный результат по у и подставим во вто­рое уравнение:

После элементарных преобразований получим , или

.

После подстановки найденного значения в уравнение (4.2.2), оконча­тельно имеем:

или .

 

Пример 0.5

Решениие: Это дифференциальное уравнение второго порядка типа , решение которого осуществляется понижением порядка. Подставим в дифференциальное уравнение новую переменную . С учетом того, что , получим уравнение: , или , которое является однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Для решения этого уравнения введем еще одну перемен­ную , откуда , : , или

Интегрируя последнее уравнение, находим , или , откуда . Возвращаясь к переменной , получим уравнение . Переходя окончательно к переменной у, получим уравнение

решая которое методом интегрирования по частям найдем ответ:

 

 

Пример 0.6

Решение: Введем переменную , при этом . Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, решение которого: Перейдя к исходной переменной у окончательно будем иметь общее решение диффе­ренциального уравнения

Воспользовавшись начальными условиями, найдем:

 

Следовательно, искомое частное решение имеет вид

Пример 0.7

Р е ш е н и е: Это дифференциальное уравнение второго порядка типа , допускающее понижение порядка. Введем новую неизвест­ную функцию , полагая . В этом случае . Подставив и в исходное уравнение получим: . Разделим пере­менные: . Проинтегрируем: . Отсюда найдем: , или , или .

Так как , то , или

Интегрируя, получаем общий интеграл , или

Отсюда находим общее решение:

 

Пример 0.8

Решение: Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид . Его корни , . Фундаментальная система частных решений , . Общее решение уравнения имеет вид: .

 

Пример 0.9

Решение: Это линейное неоднородное дифференциальное урав­нение второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этого уравнения можно записать в виде суммы , где у - общее решение уравнения без правой части, а -частное решение уравнения с правой частью. Составляем характеристическое уравнение для однород­ного дифференциального уравнения : .

Находим его корни , . Общее решение дифференциального уравнения без правой части имеет вид: .

Правая часть исходного уравнения . В этом случае частное решение следует искать в виде . где r — число корней характеристического уравнения, совпадающих с коэффициентом а в показателе степени показательной функции. В нашем примере , следовательно, , и частное решение можно записать в виде

Находим и :

Подставляя выражения , , в исходное уравнение и сокращая на множитель , получаем тождество:

После приведения подобных членов находим

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систе­му уравнений

из которой находим ,

Подставляя найденные значения А и В в выражение для , найдем частное решение исходного дифференциального уравнения

 

Общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

 

Пример 0.10

Решение: Это линейное неоднородное дифференциальное уравне­ние второго порядка с постоянными коэффициентами, по типу и методу решения аналогичное уравнению рассмотренному в примере 0.9.

Составим характеристическое уравнение для однородного уравнения , . Находим его корни , . Общее решение дифференциального уравнения без правой части имеет вид:

.

Правая часть исходного уравнения имеет вид . В этом случае частное решение следует искать в виде:

,

где r равно числу корней характеристического уравнения совпадающих с bi. В нашем примере совпадает с одним из корней характе­ристического уравнения и, следовательно, r = 1. Будем искать частное решение неоднородного уравнения в форме:

.

Находим и :

,

Подставляя выражения для , , в исходное уравнение, получим:

После приведения подобных членов

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функ­циях, будем иметь:

 

Таким образом и общее решение неоднородного урав­нения запишется в виде:

 

 

Пример 0.11

Решение: Это линейное неоднородное дифференциальное урав­нение второго порядка с переменными коэффициентами. Для его решения используем метод вариации произвольных постоянных.

Прежде всего решим однородное уравнение . Это диф­ференциальное уравнение второго порядка типа . допуска­ющее понижение порядка (смотри пример 0.5). Для его решения введем переменную , следовательно . После подстановки новой переменной в однородное уравнение будем иметь , или разде­ляя переменные, получим . Интегрируя последнее уравнение получим

или

или

Переходя к переменной у, решим уравнение , разделим переменные , интегрируем

Будем искать частное решение исходного неоднородного дифференци­ального уравнения в виде:

где и неизвестные произвольные постоянные, а и два частных решения однородного дифференциального уравнения, образующие фундаментальную систему решения, так как определитель Вронского для них,

.

Для уравнений второго порядка , соот­ветствующая система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных произвольных постоянных и может быть запи­сана в виде

 

Так как , единственное решение указанных сис­тем можно найти, используя готовые формулы

Таким образом, частное решение исходного неоднородного уравнения бу­дет иметь вид:

 

а общее его решение

Пример 0.12

Решение: Продифференцируем первое уравнение системы но t: . Подставим в полученное уравнение значение из второго уравнения системы:

.

Заменяя функцию y ее выражением из первого уравнения системы

, (4.2.3)

приходим к линейному однородному уравнению второго порядка относи­тельно одной неизвестной функции х:

или

 

Последнее уравнение – это однородное линейное дифференциальное урав­нение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решая характе­ристическое уравнение находим корни и . Таким образом, общее решение дифференциального уравне­ния . Дифференцируя последнее уравнение по t. находим:

 

Подставим выражения для х и в равенство (4.2.3) и приведем подобные

Функции

являются решением данной системы.

Пример 0.13

Решение: Ищем решение данного дифференциального уравнения в виде ряда Маклорена

(4.2.4)

Подставив в это уравнение первое начальное условие у= 1 при х=0, получим из исходного дифференциального уравнения Продифференцируем обе части исходного дифференциального уравне­ния:

При х = 0:

Подставляя найденные значения производных в ряд (4.2.4), для решения у(х) получим приближенное значение в виде частичной суммы ряда

Пример 0.14 Найти кривую, проходящую через точку М(3; 2), для кото­рой отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями, делится пополам в точке касания.

Решение: Как следует из рисунка, иллюстрирующего условие

x

y

y=f(0)

M(3; 2)

A

В

 

задачи, точка М есть середина касательной к графику функции . Следовательно , а . Угловой коэффициент касательной к кривой в точке М(х, у) равен

 

Таким образом уравнение есть дифференциальное уравнение ис­комой кривой. Это уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, найдем:

 

Используя начальное условие (заданную точку (3, 2)), определяем . Итак искомая кривая это гипербола .

 

Пример 0.15.

В 1980 году в городе проживало 100000 жителей. В течение последую­щих лет население города увеличивалось со скоростью, пропорциональной числу жителей в текущий момент времени. В 1990 году в городе прожи­вало уже 120000 жителей. Сколько жителей должно проживать в городе в 2000 году.

Решение: Обозначим через t время, прошедшее с момента на­чала отсчета, т.е. с 1980 года, а через - число жителей в момент времени t. Согласно условию задачи уравнение, описывающее изменение числа жителей , где k - коэффициент пропорциональности прирос­та населения. Решаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

или , или , или

. (4.2.5)

По условию задачи в начальный момент времени население города . Подставим начальное условие в уравнение (4.2.5)

.

Следовательно частное решение .

Используя информацию о том. что через 10 лет в 1990 году население города составляло уже 120000 человек, найдем значение коэффициента пропорциональности k. В нашем случае целесообразнее искать :

 

Таким образом закон, по которому менялось число жителей города, следующий:

Используя установленный закон, найдем, что в 2000 году (t=20) в городе может проживать:

человек.

 

 

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

 

ВАРИАНТ 1

1.1

1.2

1.3 , (линейно относительно х)

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

1.10

1.11

1.12

1.13

1.14 Найти линию, у которой любая касательная пересекается с осью ординат в точке, одинаково удаленной от точки касания и от на­чала координат.

1.15 Через сколько времени температура тела, нагретого до 100°, понизится до 30°, если температура помещения 20° и за первые 20 минут тело охладилось до 60°.

По закону охлаждения Ньютона скорость охлаждения тела пропорци­ональна разности температур тела и окружающей его среды.

 

 

ВАРИАНТ 2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

2.10

2.11

2.12

2.13

2.14 Найти линию, у которой начальная ордината любой касатель­ной на две единицы масштаба меньше абсциссы точки касания.

2.15 На сколько увеличится длина шнура под действием его веса, если подвесить шнур за один конец. Вес шнура Р, его длина l.

Согласно закону Гука эластичный шнур длины I под действием рас­тягивающей силы F получает приращение длины

 

ВАРИАНТ 3

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14 Найти линию, у которой квадрат длины отрезка, отсекаемого любой касательной от оси ординат, равен произведению координат точки касания.

3.15 Скорость распада радия пропорциональна наличному коли­честву его. По истечении 1600 лет остается половина первоначального запаса радия.

Найти, какой процент радия окажется распавшимся по истечении 100 лет.

 

ВАРИАНТ 4

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

4.11

4.12

4.13

4.14 Найти линию, у которой длина нормали есть постоянная вели­чина а.

4.15 Если при прохождении через слой воды толщиной 3 метра по­глощается половина первоначального количества света, то какая часть этого количества света дойдет до глубины 30 метров.

Количество света, поглощаемого тонким слоем воды, пропорционально количеству проходящего света и толщине слоя.

 

ВАРИАНТ 5

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11

5.12

5.13

5.14 Найти линию, проходящую через точку (a, 1) и имеющую постоянную подкасательную, равную а.

 

5.15 Если через два часа после начала брожения наличное количест­во фермента составляет 2 грамма, а через три часа 3 грамма, то каково было первоначальное количество фермента, если считать, что скорость прироста фермента, пропорциональна его наличному количеству?

 

 

ВАРИАНТ 6

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

6.13

6.14 Найти кривую, у которой длина нормали в любой ее точке рав­на расстоянию этой точки от начала координат.

 

6.15. Какую работу надо затратить чтобы тело массы m с земной поверхности удалить в бесконечность

 

 

ВАРИАНТ 7

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8.

7.9

7.10

7.11

7.12

7.13

7.14 Найти кривую, проходящую через точку (0, 1), у которой под-касательная равна сумме координат точки касания.

 

7.15 Тяжелая цепь длиной 200м поднимается, навиваясь на ворот.Определит] работу, производимую при поднятии цепи, пренебрегая размерами ворота,

если погонный метр цепи весит 50кг.

 

ВАРИАНТ 8

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5