Жуковский, 2001.

Посещаемость будет учитываться. Студенты, опоздавшие на лекцию или семинар более чем на 10 минут, не будут допущены к занятиям. Прогулы студента наказуемы, за каждое пропущенное занятие студент теряет определенное количество баллов в соответствии с вышеприведенной системой оценок.

Студенты, пропустившие занятия по болезни (при наличии допуска установленного образца), имеют право их отработать в указанные офис-часы. Форма отработки будет установлена нами.

На занятиях категорически запрещено жевать резинку, есть, пить, пользоваться сотовым телефоном.

Семинарские занятия могут проводиться в разных формах (деловая игра, устные выступления, рефераты). Форма проведения семинара будет определена нами для каждого случая и сообщена Вам заранее.

Студент должен систематически посещать занятия, активно участвовать в работе на семинарских занятиях, выполнять требования при самостоятельной работе студентов совместно с преподавателем, выполнять самостоятельные работы.

Правила поведения студента во время учебных занятий предполагают взаимное уважение между преподавателем и студентом, в том числе: пунктуальность, соблюдение регламента, обращение преподавателя и студента друг к другу на «Вы», исключение из речи слов и выражений, которые могут быть восприняты как проявление неуважения к аудитории и преподавателю, полное отключение сотовых телефонов.

Кроме того, студенты при посещении занятий должны строго придерживаться «Правил внутреннего распорядка для студентов КОУ».

 

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

 

 

Курсовая работа

по численным методам

на тему: Решение дифференциальных уравнений.

 

Выполнил студент

II курса группы С-208

факультета «Стрела»

Шарапов Максим.

Жуковский, 2001.

 

Оглавление.

§ 1. Общая постановка задачи.................................................................................................................... 3

§ 2. Метод сведения краевой задачи к задаче Коши................................................................................ 3

§ 3. Метод конечных разностей................................................................................................................. 4

§ 4. Метод Галеркина.................................................................................................................................. 5

§ 5. Метод прогонки.................................................................................................................................... 6

§ 6. Программы............................................................................................................................................ 7

§ 7. Результаты........................................................................................................................................... 12

§ 1. Общая постановка задачи.

В курсовой работе по численным методам требуется решить краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения вида: Решение необходимо произвести независимо тремя методами:

1. Методом сведения краевой задачи к задаче Коши.

2. Методом конечных разностей.

3. Методом Галёркина.

Задание (вариант № 28).

 

§ 2. Метод сведения краевой задачи к задаче Коши.

Пусть дано линейное дифференциальное уравнение:

(1),

где функции: p(x), q(x), f(x) непрерывны. Требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:

(2),

где: - заданные константы, причем: и

Решение будем искать в виде:

y = cu + v (3),

где: u = u(x) – ненулевое решение соответствующего неоднородного уравнения:

(4),

а v = v(x) – какое-нибудь решение данного неоднородного уравнения (1):

(5).

Очевидно, что функция, определенная формулой (3) является искомым решением уравнения (1), где с – произвольная постоянная.

Потребуем, чтобы первое краевое условие (2) выполнялось для y при любом с. Используя его, будем иметь:

или:

(6).

Для того чтобы последнее равенство было справедливо при любом с, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при с обращался в 0, т.е., было выполнено следующее:

(7),

(8).

Для обеспечения равенств (7-8) достаточно, например, положить:

(9),

где: k – постоянная, отличная от 0;

(10),

если и:

(11),

если

Отсюда видно, что u есть решение задачи Коши для однородного уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям (9), а v есть решение задачи Коши для неоднородного уравнения (5), удовлетворяющее начальным условиям (10) или (11). При этом для любого с функция y = cu + v удовлетворяет краевому условию на конце x = a.

Подберем постоянную c так, чтобы функция y удовлетворяла краевому условию (2) на другом конце отрезка y = b. Это дает: откуда: При этом предполагается, что знаменатель этого выражения отличен от нуля:

(12).

Таким образом, краевая задача (1-2) сведена к двум задачам Коши для функций u(x) и v(x).

Замечание 1. Если выполнено условие (12), то краевая задача (1-2) имеет единственное решение. Если же условие не выполняется по каким-либо причинам, то исходная задача может либо –вообще не иметь решений, либо их бесчисленное множество.

Замечание 2. Если исходное уравнение (1) является однородным, т.е.: f(x) º 0, и кроме того, A = 0, то в силу условий (10) или(11) имеем: т.е., v º 0. Поэтому: y = cu(x), где u(x) – решение уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям (9). Очевидно, в этом случае:

 

§ 3. Метод конечных разностей.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение:

(1)

с линейными двухточечными краевыми условиями:

(2)

При этом снова полагаем: Функции p(x), q(x), f(x) непрерывны на [ a; b ].

Одним из наиболее простых методов решения этой задачи является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений. Разобьем отрезок [a; b] на n равных частей длины h (шаг), причем: Точки разбиения имеют абсциссы: x_i = x 0 + ih (i = 0, 1, 2, …, n); x ₀ = a, x_n = b (см. рис. 1).

Значения искомой функции y(x) в точках деления x_i и ее производных обозначим через: Введем, кроме того, еще несколько новых обозначений:

Заменяя производные правыми односторонними конечно-разностными отношениями, для внутренних точек отрезка x_i будем приближенно иметь:

(3).

Для концевых точек x ₀ = a, x_n = b полагаем:

(4).

Используя формулы (3), дифференциальное уравнение (1) можно при x = x_i (i = 1, 2, …, n -1) приближенно заменить линейной системой уравнений:

(i = 1, 2, …, n -1) (5).

Кроме того, в силу формул (4) краевые условия (2) дополнительно дают еще 2 уравнения:

(6).

Таким образом, мы получили линейную систему n + 1 уравнений с n + 1 неизвестными y ₀, y ₁, …, y_n, которые представляют собой не что иное, как значения искомой функции y = y(x) в точках x ₀, x ₁, …, x_n. Решив такую систему, получим таблицу значений искомой функции y.

Замечание. Более точные формулы получаются, если воспользоваться симметричными конечно-разностными отношениями:

(i = 1, 2, …, n – 1) (7).

Для производных в концевых точках в общем случае приходится использовать формулы (4). Отсюда приходим к системе:

(8).

Для решения систем подобного рода разработан и применяется так называемый метод прогонки, о котором речь пойдет в § 5.

 

§ 4. Метод Галеркина.

Данный метод основан на одной теореме из теории общих рядов Фурье.

Теорема. Пусть: { u_n(x) } – полная система функций с ненулевой нормой, ортогональных на отрезке [ a; b ]. Если непрерывная функция f(x) ортогональна на отрезке [ a; b ] ко всем функциям u_n(x), т.е.:

(n = 1, 2, …) (1),

то: f(x) º 0 при a £ x £ b.

Замечание. Под нормой подразумевается:

Переходим к рассмотрению метода Галеркина. Пусть имеется линейная краевая задача:

L[y] = f(x) (2),

где: и есть краевые линейные условия:

(3)

(при этом снова предполагается, что: ).

Выберем конечную систему базисных функций { u_i(x) }(i = 0, 1, …, n), составляющих часть некоторой полной системы, причем позаботимся, чтобы функция u ₀(x) удовлетворяла неоднородным краевым условиям: а функции u_i(x) (i = 1, 2, …, n) удовлетворяли бы однородным краевым условиям: (i = 1, 2, …, n). Решение краевой задачи (2-3) будем снова искать в виде:

(4).

При нашем подборе базисных функций u_i(x) функция y, очевидно, удовлетворяет краевым условиям (3) при любом выборе коэффициентов C_i. Если (4) подставить в (2), то получим невязку: Для точного решения исходной задачи: R º 0, поэтому для получения приближенного решения, близкого к точному, нам выгодно подобрать коэффициенты C_i так, чтобы R ® 0.

Согласно методу Галеркина, требуем, чтобы невязка R была ортогональна базисным функциям, что при достаточно большом числе этих функций обеспечивает малость невязки в среднем.

Для определения коэффициентов C_i приходим к системе линейных уравнений:

или, более подробно: (i = 1, 2, …, n).

 

§ 5. Метод прогонки.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (1)[1] с двухточечными линейными краевыми условиями (2). От дифференциального уравнения (1) обычным приемом переходят к конечно- разностным уравнениям. Для этого разобьем отрезок [ a; b ] на n равных частей с шагом Полагая; и вводя обозначения:

p_i = p(x_i), q_i = q(x_i), f_i = f(x_i), y_i = y(x_i), получаем при x ₌ x_i вместо дифференциального уравнения (1) следующее конечно-разностное уравнение

Отсюда после упрощения будем иметь:

(3),

Введя обозначения: будем иметь:

(i = 0, 1, 2, …, n – 2) (4),

причем из краевых условий (2) имеем

(5).

Линейная система (4),(5) состоит из n + 1 уравнений относительно n + 1 неизвестных Эту систему можно решить обычным способом. Однако существует более короткий.

Разрешая уравнение (4) относительно y _{i +1},находим:

(6).

Предположим, что с помощью полной системы (4) из уравнения исключен член, содержащий y_i. Тогда уравнение (6) может быть записано в виде:

(7),

где коэффициенты подлежат определению. Найдем формулы для этих коэффициентов. При i =0 из формулы (6) и краевых условий (5) следует, что:

Исключая отсюда y, будем иметь: Разрешая это уравнение относительно y ₁, будем иметь: (8).

Но согласно формуле (7) имеем:

(9).

Отсюда, сравнивая формулы (8) и (9), находим:

 

(10).

Пусть теперь i>0 (i=1,2,.....n-2). Выражая y_i поформуле (7), получим: Подставляя это в (6), имеем: Разрешая это относительно y_{i + 1} будем иметь: или:

(11).

Отсюда, сравнивая формулы (7) и (11), получаем для коэффициентов С_i и D_i рекуррентные формулы:

(12).

На основании формул (12), используя формулы (10) для С ₀ и D ₀, можно последовательно определить коэффициенты Сi и Di (i =1, 2,..., n - 2) до С_{n -2} и D_{n -2} включительно (прямой ход). Из формулы (7) при i = n - 2 и второго краевого условия (5) получаем:

Теперь используя формулу (7) и первое краевое условие (5), мы можем последовательно найти y_{n -1}, y_{n -2,} ..., y ₀ (обратный ход).

 

§6. Программы.

1. Метод сведения к задаче Коши.

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

#define p(x) (-3*(x))

#define q(x) (-4)

#define r(x) (1)

#define N 500

#define EPS 0.0001

void runge_kutt (void);

int n;

double y[N];

double a=1, b=1.6, A=-3.3, B=-2;

double h=0.06, x;

main ()

{

int i, t;

double y1[N], eps[N], max_eps;

for (i=0;i<N;i++) y1[i]=0;

clrscr ();

do

{

for(i=0;i<=n;i++) y1[i]=y[i];

n=(b-a)/h+.5;

if (n>N)

{

printf ("\n Ошибка: выход за пределы массива ");

getch ();

return 0;

}

runge_kutt ();

max_eps=0;

for (i=0;i<=n/2;i++)

{

eps[i]=fabs(y[2*i]-y1[i]);

if (eps[i]>max_eps) max_eps=eps[i];

}

h/=2;

}

while (max_eps>EPS);

clrscr ();

printf (" Решение краевой задачи дли дифференциального уравнения \n\

II- порядка с точностью Е = %методом сведения к задаче Коши \n\n",EPS);

 

printf ("ЙНННННННННННННЛННННННННННННННННННННННЛННННННННННННННННННН»\n");

for (i=0;i<=n/2;i+=(0.06/(h*4)+0.06))

printf ("є x = %.2f є y(x) = %+f є eps = %.1e є\n",a+h*4*i,y1[i],eps[i]);

printf ("ИНННННННННННННКННННННННННННННННННННННКНННННННННННННННННННј\n");

 

printf ("\n Результаты представлены с шагом 0.06\n");

printf ("\заданная точность достигнута при шаге, равном %g\n",EPS,h*4);

getch ();

return 0;

}

 

/******************************************************************************

Функция, вычисляющая корни дифференциального уравнения II порядка методом Рунге – Кутта после сведения его к задаче Коши.

******************************************************************************/

 

void runge_kutt (void)

{

int i;

double u[N], v[N], z[N], g[N], x, c;

double ku1,ku2,ku3,ku4,kz1,kz2,kz3,kz4;

double tv1,tv2,tv3,tv4,tg1,tg2,tg3,tg4;

z[0]=1;

u[0]=0;

v[0]=A;

g[0]=0;

for (i=0;i<=n;i++)

{

x=a+h*i;

ku1=z[i];

kz1=-p(x)*z[i]-q(x)*u[i];

tv1=g[i];

tg1=-p(x)*g[i]-q(x)*v[i]+r(x);

ku2=z[i]+h/2*kz1;

kz2=-p(x+h/2)*(z[i]+h/2*kz1)-q(x+h/2)*(u[i]+h/2*ku1);

tv2=g[i]+h/2*tg1;

tg2=-p(x+h/2)*(g[i]+h/2*tg1)-q(x+h/2)*(v[i]+h/2*tv1)+r(x+h/2);

ku3=z[i]+h/2*kz2;

kz3=-p(x+h/2)*(z[i]+h/2*kz2)-q(x+h/2)*(u[i]+h/2*ku2);

tv3=g[i]+h/2*tg2;

tg3=-p(x+h/2)*(g[i]+h/2*tg2)-q(x+h/2)*(v[i]+h/2*tv2)+r(x+h/2);

ku4=z[i]+h*kz3;

kz4=-p(x+h)*(z[i]+h*kz3)-q(x+h)*(u[i]+h*ku3);

tv4=g[i]+h*tg3;

tg4=-p(x+h)*(g[i]+h*tg3)-q(x+h)*(v[i]+h*tv3)+r(x+h);

u[i+1] = u[i] + (ku1+2*(ku2+ku3)+ku4)*h/6;

z[i+1] = z[i] + (kz1+2*(kz2+kz3)+kz4)*h/6;

v[i+1] = v[i] + (tv1+2*(tv2+tv3)+tv4)*h/6;

g[i+1] = g[i] + (tg1+2*(tg2+tg3)+tg4)*h/6;

}

c = (B-v[n])/u[n];

for (i=0;i<=n;i++) y[i] = u[i]*c + v[i];

}

 

2. Метод конечных разностей.

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

 

#define p(x) (-3*(x))

#define q(x) (-4)

#define r(x) (1)

 

#define l(x) ((q(x)*h*h-2)/ (1+p(x)*h/2))

#define m(x) ((1-p(x)*h/2)/ (1+p(x)*h/2))

#define f(x) (r(x)*h*h / (1+p(x)*h/2))

 

#define N 500

#define EPS 0.0001

 

int n;

double y[N];

double a=1, b=1.6, A=-3, B=-2;

double h=0.06, x;

void raznost (void);

main ()

{

int i, t;

double y1[N], eps[N], max_eps;

for (i=0;i<N;i++) y1[i]=0;

clrscr ();

do

{

for(i=0;i<=n;i++) y1[i]=y[i];

n=(b-a)/h+.5;

if (n>N)

{

printf ("\n Ошибка: выход за пределы массива ");

getch ();

return 0;

}

raznost();

max_eps=0;

for (i=0;i<=n/2;i++)

{

eps[i]=fabs(y[2*i]-y1[i]);

if (eps[i]>max_eps) max_eps=eps[i];

}

h/=2;

}

while (max_eps>EPS);

clrscr ();

printf (" Решение краевой задачи для дифференциального уравнения II порядка с точностью Е = %g методом конечных разностей \n\n",EPS);

 

printf ("ЙНННННННННННННЛННННННННННННННННННННННЛННННННННННННННННННН»\n");

 

for (i=0;i<=n/2;i+=(0.06/(h*4)+0.06))

printf ("є x = %.2f є y(x) = %+f є eps = %.1e є\n",a+h*4*i,y1[i],eps[i]);

 

printf ("ИНННННННННННННКННННННННННННННННННННННКНННННННННННННННННННј\n");

 

printf ("\n Результаты представлены с шагом 0.06");

printf ("\n ‡ ¤ ­­ п в®з­®бвм %g ¤®бвЁЈ­гв ЇаЁ и ЈҐ а ў­® %g\n",EPS,h*4);

getch ();

return 0;

}

 

/****************************************************************************

Функция, вычисляющая корни уравнения II порядка методом конечных разностей.

****************************************************************************/

 

void raznost (void)

{

int i;

double c[N], d[N];

y[0]=A;

y[n]=B;

c[0]=A;

d[0]=0;

for (i=1;i<=n;i++)

{

x = a + h*i;

c[i]=(f(x)-m(x)*c[i-1])/(l(x)-m(x)*d[i-1]);

d[i]=1/(l(x)-m(x)*d[i-1]);

}

for (i=n-1;i>=1;i--)

y[i]=c[i]-d[i]*y[i+1];

}

 

3. Метод Галеркина.

#include<stdio.h>

#include<math.h>

#include<conio.h>

 

#define P(x) (-3*(x))

#define Q(x) (-4)

#define R(x) (1)

 

#define M 11

main()

{

double a=1,b=1.6,A=-3.3,B=-2,eps=0.0001;

double x,y[M][2],u,l,c[M],h,s1,s2,w,norm,n1[M],I[M][M],J[M];

int N=10,Q=10,i,p=0,j,v,s,n=2;

clrscr();

do

{

h=(b-a)/N;n1[0]=0;n1[10]=0;s1=0;s2=0;y[0][p]=A;norm=0;

for(v=1;v<=n;v++)

for(i=1;i<=n;i++)

{

for(j=1;j<N;j++)

{

x=j*h+a;

u=pow(x-a,i)*(x-b);

l=v*pow(x-a,v-2)*((v-1)*(x-b)+2*(x-a))+

P(x)*(v*pow(x-a,v-1)*(x-b)+pow(x-a,v))+

Q(x)* pow(x-a,v) *(x-b);

if(float(j)/2!=j/2) s1+=u*l;

else s2+=u*l;

}

I[i][v]=h/3*(4*s1+2*s2);

s1=0;s2=0;

}

for(i=1;i<=n;i++)

{

for(j=1;j<N;j++)

{

x=j*h+a;

u=pow(x-a,i)*(x-b);

l=P(x)*(B-A)/(b-a)+Q(x)*((A*b-B*a)/(b-a)+(B-A)/(b-a)*x);

if(float(j)/2!=j/2) s1+=u*(R(x)-l);

else s2+=u*(R(x)-l);

}

J[i]=h/3*(4*s1+2*s2);

s1=0;s2=0;

}

for (s=1;s<n;s++)

for (i=s+1;i<=n;i++)

{

w=I[i][s]/I[s][s];

J[i]-=J[s]*w;

for(j=s+1;j<=n;j++) I[i][j]-=I[s][j]*w;

}

c[n]=J[n]/I[n][n];

for(i=n-1;i>0;i--)

{

c[i]=J[i];

for(j=i+1;j<=n;j++) c[i]-=I[i][j]*c[j];

c[i]/=I[i][i];

}

for(j=1;j<=Q;j++)

{

x=j*(b-a)/Q+a;

y[j][p]=(A*b-B*a)/(b-a)+(B-A)/(b-a)*x;

for(i=1;i<=n;i++) y[j][p]=y[j][p]+c[i]*pow(x-a,i)*(x-b);

}

if(p==0) {p=1;n++;norm=eps+1;continue;}

else

{

for(i=1;i<Q;i++)

{

n1[i]=fabs(y[i][0]-y[i][1]);

if(n1[i]>norm) norm=n1[i];

}

for(i=0;i<=Q;i++) y[i][0]=y[i][1];

}

n++;

}

while (norm>eps);

printf ("\n Решение краевой задачи для дифференциального уравнения \n"

" II-го порядка с точностью Е = %g методом конечных разностей \n",eps);

printf ("\nˆҐп %d га ў­Ґ­Ёп\n",n-1);

printf ("ЙНННННННННННННЛННННННННННННННННННННННЛННННННННННННННННННН»\n");

 

for(i=0;i<=Q;i++)

printf ("є x = %.2f є y(x) = %+f є eps = %.1e є\n",i*(b-a)/Q+a,y[i][0],n1[i]);

printf ("ИНННННННННННННКННННННННННННННННННННННКНННННННННННННННННННј\n");

printf ("\n Результаты представлены с шагом 0.06\n");

getch();

return 0;

}

 

§ 7. Результаты.

1. Метод сведения к задаче Коши:

xi	y(xi)	Точность e
1.0	-3.3
1.06	-3.137851	3.4*10-7
1.12	-2.987541	7.5*10-7
1.18	-2.847435	1.2*10-6
1.24	-2.715942	1.7*10-6
1.30	-2.591442	2.3*10-6
1.36	-2.472192	2.8*10-6
1.42	-2.356203	3.1*10-6
1.48	-2.241065	3.1*10-6
1.54	-2.123701	2.3*10-6
1.60	-2.000000	8.9*10-16

2. Метод конечных разностей[2]:

xi	y(xi)	Точность e
1.0	-3.3
1.06	-3.137862	8.1*10-6
1.12	-2.987561	1.5*10-5
1.18	-2.847463	2*10-5
1.24	-2.715976	2.4*10-5
1.30	-2.591481	2.7*10-5
1.36	-2.472233	2.8*10-5
1.42	-2.356243	2.8*10-5
1.48	-2.241100	2.4*10-5
1.54	-2.123724	1.6*10-5
1.60	-2.00000

3. Метод Галеркина.

xi	y(xi)	Точность e
1.0	-3,3
1.06	-3,137861	4,6*10-5
1.12	-2,987542	2,3*10-5
1.18	-2,847440	2,6*10-5
1.24	-2,715952	2,3*10-5
1.30	-2,591448	5,6*10-5
1.36	-2,472192	3,4*10-5
1.42	-2,356205	1,7*10-5
1.48	-2,241072	2,9*10-5
1.54	-2,123696	2,4*10-5
1.60	-2,000

 

[1] Ссылки (1-2) на соответствующие формулы § 3.

[2] Заданная точность достигнута при шаге h = 0.0075.