Исследование формы эллипса по его уравнению

Пусть дан эллипс своим каноническим уравнением (4) .

Для определения вида кривой заданной уравнением (4), заметим:

а) Координаты начала системы координат точки О(0;0) не удовлетворяют

уравнению (4). => Эллипс не проходит через начало координат.

б) Найдём точки пересечения эллипса с осью Ох: => => Эллипс две точки пересечения с осью Ох: и .

в) Найдём точки пересечения эллипса с осью Оу: => => Эллипс две точки пересечения с осью Ох: и .

г) Если точка М(х;у) принадлежит эллипсу, то из уравнения (4) следует, что и точка М₁(-х;у) принадлежит эллипсу. => Эллипс симметричен относительно оси Ох.

д) Если точка М(х;у) принадлежит эллипсу, то из уравнения (4) следует, что и точка М₂(х;-у) принадлежит эллипсу. => Эллипс симметричен относительно оси Оу.

На основании г) и д) можно сделать вывод, что эллипс симметричен относительно начала системы координат.

е) Из уравнения (4) , => и => Все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, ограниченного прямыми и .

ж) Так как , то можно сделать вывод, что с ростом у от 0

до величина х убывает от до 0.

з) => => =>

<0 => Если , то , то есть функция выпукла вверх. Учитывая симметричность эллипса относительно осей координат, получаем изображение эллипса (Рис.2.).

Рис.2

Точки А₁, А₂, В₁, В₂ ─ называют вершинами эллипса. [A₁A₂] ─ большой осью эллипса, [B₁B₂] ─ называют малой осью эллипса. Числа и называют полуосями эллипса.