ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ. Учебно-методическое пособие

Точки F₁ и F₂ называются фокусами эллипса, а │; F₁F₂│= 2с ─ фокальным расстоянием.

Пусть на плоскости даны две точки F₁ и F₂. Для того чтобы составить уравнение эллипса на плоскости введём ортонормированную систему координат, начало которой поместим с середину отрезка [F₁F₂]. Ось Ох расположим таким образом, чтобы точки F₁ и F₂ принадлежали этой оси.

Рис.1.

В этом случае фокусы эллипса принимают следующие координаты F₁(c;0) и F₂(-c;0). (см. Рис.1.) Пусть М(х;у) ─ произвольная точка эллипса. Тогда, по определению, │МF₁│+ │МF₂│ = 2a. (1)

По формуле вычисления расстояния между точками имеем: , . Таким образом из (1) =>

. Запишем полученное выражение в виде и возведём в квадрат. В результате, после приведения подобных членов, получаем . Для того чтобы освободиться от корня возведём последнее выражение в квадрат. В результате после элементарных преобразований имеем: . (2)

Учитывая, что > обозначим (3)

и запишем (2) виде: . После деления полученного уравнения на получаем, что если точка М(х;у) принадлежит эллипсу, то её координаты удовлетворяют уравнению

(4)

Покажем теперь, что если координаты некоторой точки М₁(х₁;у₁) удовлетворяют уравнению (4), то точка М₁ принадлежит эллипсу.

Пусть для точки М₁(х₁;у₁) справедливо равенство (5)

Из (5) следует: (6)

Вычислим

=> .

Заметим, что величина стоящая под знаком модуля положительна не только при < 0, но и при > 0 так как с < и из (6) => .

Аналогично, если провести подобные преобразования для , получим . => => точка М₁ принадлежит эллипсу.

Таким образом, уравнение (4) является уравнением эллипса, которое называется каноническим уравнением эллипса.

[MF₁] ─ называется первым фокальным радиусом эллипса; .

[MF₂] ─ называется вторым фокальным радиусом эллипса; .

Заметим, что если F₁= F₂, то с = 0 и => => окружность частный случай эллипса.