Парабола. 1. Определение параболы и её уравнение
1. Определение параболы и её уравнение Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой d, не проходящей через данную точку F. Точка F называется фокусом параболы, а прямая d ─ директрисой параболы. Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается:
Рис.12. Для того чтобы составить уравнение параболы на плоскости введём ортонормированную систему координат, ось (Ох) которой выберем проходящей через фокус F параболы перпендикулярно директрисе d. Пусть D─ точка пересечения оси (Ох) с директрисой d. Начало системы координат выберем в точке, являющейся серединой отрезка [FD].
В этом случае фокусы параболы принимает координаты Таим образом, получаем, если точка М(х;у) принадлежит параболе, то её координаты удовлетворяют уравнению. Покажем теперь, что если координаты некоторой точки М1(х1;у1) удовлетворяют уравнению (7), то точка М1 принадлежит параболе. И так, пусть для координат точки М1 выполнено условие: 2. Исследование формы параболы по его уравнению Пусть дана парабола своим каноническим уравнением (7). Для определения вида кривой заданной уравнением (7), заметим: а) Координаты начала системы координат точки О(0;0) не удовлетворяют уравнению (7). => Парабола проходит через начало координат. б) Если точка М(х;у) принадлежит параболе, то из уравнения (7) следует, что и точка М1(-х;у) принадлежит параболе. => Парабола симметрична относительно оси Ох. в) г) Продифференцируем равенство д) Продифференцировав выражение
Рис. 13. Проведённое исследование позволяет построить изображение параболы, приведённое на рис. 13. 3.Построение точек параболы Построить параболу с фокусом в точке F и директрисой d можно следующим образом. а) Через фокус F проводим прямую (Ох), перпендикулярную директрисе d. б) Строим вершину параболы, то есть точку О, которая является серединой отрезка [ON], где N точка пересечения директрисы и (Ох).
Рис. 14. в) Проводим произвольную прямую ℓ параллельную директрисе. г) Строим окружность Чтобы получить достаточное число точек параболы необходимо повторить пункты в) и г).
|
.
(Рис.12.)
(7)
,а директриса определяется уравнением 
. Пусть М(х;у) ─ произвольная точка параболы. Тогда, по определению, 
. Учитывая, формулы расстояния между двумя точками и расстояния от точки до прямой, получаем. 
. Возведём это равенство в квадрат. 
=>
. => 
=> => 
параболе. Таким образом, уравнение (7) является уравнением параболы.
Если 
, то все точки параболы расположены в полуплоскости 
.
. 
=> При у > 0 функция у(х) является возрастающей, а при у < 0 ─ убывающей.
по переменной х, получаем: 
. => Кривая 
, где 
. Точка М= ω∩ℓ принадлежит параболе с фокусом в точке F и директрисой ℓ.
