Модель водных коммуникаций со сложным разветвлением русла.

! – irony; various feelings – in a statement

? – surprise, incredulity, doubt

-- shows the character’s hesitation

. – intentional use of parcellation

... – aposiopesis

“ “ – words which are alien in the context; taken from some other sphere; irony, sarcasm

capital letters – personification; if the whole sentence – it becomes semantically important

 

Курсовая работа. Часть 4.

Модель водных коммуникаций со сложным разветвлением русла.

 

Введение. Выполнение дноуглубительных работ и планирование мероприятий по улучшению судоходных условий на реках определяют необходимость оценки расходов воды в многоузловых разветвлениях и отметок уровня воды в узлах расчетным путем.

Использование математической модели многоузлового разветвления русла для выполнения расчетов рабочих параметров может существенно ускорить процесс поиска эффективных решений по поддержанию габаритных глубин на отдельных участках водного пути.

При этом возможно совершенствование методов планирования дноуглубительных работ на реках, поскольку эффект влияния той или иной работы на изменение глубины судового хода может быть оценен по модели, без существенных материальных затрат.

Модели многоузловых разветвлений являются нелинейными. Они характеризуются высокой чувствительностью к вариации параметров. Поэтому решение задачи и получение количественных оценок рабочих параметров должно базироваться на использовании эффективных вычислительных процедур, обеспечивающих высокую скорость сходимости итерационных процессов.

Чтобы расчет многоузловых разветвлений стал «рабочим инструментом» при планировании и выполнении путевых работ, предлагается вычислительный алгоритм, обеспечивающий жесткое (робастное) решение этой задачи.

Расход в -ом рукаве связан с отметками свободной поверхности на его концах и с помощью нелинейного уравнения, имеющего вид:

, (1)

где ; – модуль сопротивления -го рукава, – постоянное число (показатель степени, в данной задаче принимается равным 2). В свою очередь, модуль сопротивления является нелинейной функцией длины отдельных участков -го рукава, площадей их живого сечения, глубин, коэффициента шероховатости и др.

Уравнения вида (1), по существу, являются уравнениями движения, где – падение свободной поверхности в -ом рукаве.

Рассмотрим теперь -ый узел, к которому по рукавам подводится вода, а по – отводится. Сумма расходов в узле равна нулю, т.е.

(2)

Это есть уравнение неразрывности, свидетельствующее о том, что каков объем воды в единицу времени подтекает к узлу, тот же и оттекает от узла, т.е. узел не является буфером (накопителем).

Заметим, что на схеме образуются замкнутые контуры, состоящие из соединений отдельных рукавов, и выделены узлы. Если мы вычислим сумму падений свободных поверхностей по любому замкнутому контуру, то она будет равна нулю (узел, из которого мы «выходим» и в который вновь «возвращаемся», следуя по замкнутому контуру, один и тот же). Таким образом, каждый рукав, обладающий соответствующим модулем сопротивления, является аналогом ветви в электрической цепи, активное сопротивление которой численно равно этому модулю. Расход есть аналог тока в -ой ветви, а величина аналогична падению напряжения на -ой ветви. Что касается «отметок» уровней в узлах разветвления, то эти понятия эквивалентны потенциалам узлов.

Уравнение (2) аналогично первому закону Кирхгофа для электрической цепи, согласно которому алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу схемы, равна нулю.

На основе уравнений (1) для каждого замкнутого независимого контура (т.е. контура, в состав которого входит хотя бы один рукав, не входивший ранее ни в один из других контуров) можно составить уравнение вида:

, (3)

где – число рукавов, входящих в контур. Уравнение (3) аналогично второму закону Кирхгофа в электрической цепи, согласно которому алгебраическая сумма напряжений вдоль любого замкнутого контура равна нулю, т.е.

, (4)

что справедливо для контура, не содержащего источников ЭДС.

Необходимо подчеркнуть, что несмотря на кажущуюся простоту уравнений (2 и 3), их решение представляет собой непростую задачу.

Аналог электрической цепи состоит из нелинейных сопротивлений, и ее расчет требует особого подхода, который базируется на следующем алгоритме.

Уравнения (2.30) и (2.32) можно записать в векторно-матричной форме. Общий вид уравнения

, (5)

где – вектор искомых переменных.

Зададимся нулевым приближением

(6)

Тогда вектор погрешностей на нулевой итерации равен:

(7)

 

 

Согласно вычислительной процедуре Ньютона-Рафсона-Канторовича, решение на первом шаге:

 

, (8)

где матрица

(9)

 

есть матрица, называемая Якобианом.

В общем случае формула Ньютона-Рафсона-Канторовича для вектора состояния на -ой итерации имеет вид:

(10)

По формуле (10) выполняются вычисления до момента, соответствующего сходимости решения. Сходимость гарантируется строго вогнутым характером нелинейности, определяемым показателем степени в уравнениях вида (1)

Обычно число итераций не превышает 3¸4 при сходимости решения до 5-го знака после запятой.

 

1. Постановка задачи.

 

Необходимо рассчитать многорукавное многоузловое разветвление, имеющее 6 узлов и 7 рукавов. Для каждого рукава заданы модули сопротивлений bi, а также задан полный расход воды в реке Q.

b1=4.61*10^-8;

b2=(431.5)* 10^-8;

b3=5.67*10^-8;

b4=37.12*10^-8;

b5=12.8*10^-8;

b6=160.1*10^-8;

b7=86.6*10^-8;

Q меняется в интервале от 800 до 1800 м3/с.

Расчетная схема русла задана на рисунке.

Расходы в рукавах обозначены индексами Qi, а направления потоков воды указаны стрелками.

Во втором и пятом узлах производятся ответвления по каналам (сброс воды) с расходами и .

Согласно расчетной схеме, основной отток воды происходит от шестого узла и равен . Нетрудно видеть, что .

Аналогично первому узлу, на схеме введены обозначения расходов и модулей сопротивлений всех ветвей, а также обозначения отметок высот всех узлов. Отметка (обычно принимаемая в электрической цепи в качестве нулевого потенциала) при выполнении расчета принята равной (м).

Необходимо определить расходы в рукавах и отметки свободных поверхностей в каждом узле из уравнений неразрывности и движения, а также нарисовать графики.

 

2. Математическая модель задачи.

В уравнениях движения (1) для всех рукавов показатели степени приняты , т.е. падение свободной поверхности в каждом рукаве пропорционально квадрату расхода. В общем случае это условие может быть иным.

Как было отмечено выше, решение нелинейной задачи связано с выполнением достаточно громоздкой вычислительной процедуры. Поэтому, по возможности, на стадии постановки задачи необходимо придерживаться принципа уменьшения числа переменных [10]. Иначе говоря, размерность задачи целесообразно выбрать минимальной. В этой связи простой анализ расчетной схемы, представленной на рис., позволяет выразить расход в третьей ветви, расположенной между узами 2 и3 (модуль сопротивления ), в терминах расхода :

,

а в седьмой ветви, расположенной между узлами 5 и 6 (модуль сопротивлений ), в терминах :

.

Задача будет решена, если мы определим расходы , , , и (см. рис.). С этой целью необходимо составить пять уравнений с пятью неизвестными.

Учитывая возможность сокращения числа переменных, мы можем исключить из рассмотрения узлы 2 и 5. Тогда при составлении уравнений неразрывности мы должны учитывать расходы только в рукавах, сходящихся к узлам 1, 3, 4 и 6. Эти узлы обозначены буквами A, B,C и D.

Согласно первому закону Кирхгофа, для цепи с четырьмя узлами возможно составить три уравнения неразрывности.

Для узла А:

, (11)

для узла B:

, (12)

для узла С:

(13)

Два (недостающих до пяти) уравнения получим с помощью второго закона Кирхгофа. С этой целью составим уравнения для свободных поверхностей в двух контурах. Первый контур (обозначен на схеме цифрой I) состоит из ветвей с модулями , , , , и . Во второй контур входят ветви с модулями , , и (на схеме обозначены цифрой II). При составлении уравнений контуры будем обходить по часовой стрелке.

(14)

Аналогично для второго контура будем иметь:

(15)

Согласно алгоритму, изложенному выше, решим нелинейную систему уравнений (11-15), используя вычислительную процедуру Ньютона-Рафсона-Канторовича. С этой целью введем функции:

(16)

Из (16) образуем вектор-столбец:

, (17)

Введем вектор переменных состояния:

, (18)

 

Определим Якобиан. Для (16) Якобиан имеет вид:

, (19)

где ;

;
;

;

;

;

;
;

;

;

;
;

;

;

;

;

;

;

.

Затем, используя формулу (10), мы получим:

, (20)

где , вычисляемое с помощью (20) путем подстановки нулевого приближения.

 

 

3. Текст программы.

% sah123.m

% Модель многорукавного разветвления русла

% Вектор уровней YRW, вектор расходов RSX.

YRW=[]; RSX=[];

% ===================================================

%Вариация полного расхода воды в реке от 800 куб. м./с до 1800 куб. м./с с шагом

% дискретности 10 куб. м./с

% Индивидуальное задание: выполнить расчеты при

% шаге работы в цикле, равном № варианта.

% for Q=800:10:1800;

for Q=800:50:1050;

% Нулевое приближение. Элементы вектора QTZ (расходы воды в рукавах Q1?Q7)

% выбираются произвольно. Например,

Q1=100;Q2=100;Q3=100;Q4=100;Q5=100;Q6=100;Q7=100;

% Отметка уровня воды в нижнем замыкающем узле (в метрах):

z6=3.544;

% Постоянный коэффициент, входящий в выражение модуля сопротивления рукавов:

k=1.0e-08;

% Модули сопротивления рукавов

b1=4.61*k;

b2=(431.5)*k;

%=============================================

% Индивидуальное задание: изменить коэффициент

% b2 по схеме:

% b2=(431.5-№ варианта)*k;

%=============================================

b3=5.67*k;

b4=37.12*k;

b5=12.8*k;

b6=160.1*k;

b7=86.6*k;

% ========================================================

% Формирование векторов расходов:

QT=[Q1 Q2 Q4 Q5 Q6]';

QTZ=[Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7]';

% Метод Ньютона-Рафсона-Канторовича. Число итераций I=6:

Pacx=[];

YPOBH=[];

for I=1:6;

% Составление уравнений по 1-ому и 2-ому законам Кирхгофа

f1=QT(1)+QT(2)-Q;

f2=QT(1)-QT(3)-QT(5)-33;

f3=QT(2)+QT(3)-QT(4);

f4=(QT(1).^2).*b1+((QT(1)-33).^2).*b3+(QT(5).^2).*b6-(QT(2).^2).*b2...

-(QT(4).^2).*b5-((QT(4)-21).^2).*b7;

f5=(QT(1).^2).*b1+((QT(1)-33).^2).*b3+(QT(3).^2).*b4-(QT(2).^2).*b2;

 

% формирование вектора f:

f=[f1;f2;f3;f4;f5];

 

% Матрица Якоби:

D=[1 1 0 0 0;1 0 -1 0 -1;0 1 1 -1 0;

QT(1).*2.*b1+(QT(1).*2-66).*b3,-QT(2).*2.*b2,0,...

-QT(4).*2.*b5-(QT(4).*2-42).*b7,QT(5).*2.*b6;

QT(1).*2.*b1+(QT(1).*2-66).*b3,-QT(2).*2.*b2,QT(3).*2.*b4,0,0];

 

% Вектор расходов на предшествующем шаге:

X0=[QT(1) QT(2) QT(3) QT(4) QT(5)]';

%: Вектор расходов на последующем шаге:

X1=X0-(inv(D))*f;

%: То же для всех рукавов:

QK=[X1(1),X1(2),X1(1)-33,X1(3),X1(4),X1(5),X1(4)-21]';

%:

z3=z6+(QK(6).^2).*b6;

z5=z6+(QK(7).^2).*b7;

z4=z5+(QK(5).^2).*b5;

z2=z3+(QK(3).^2).*b3;

z1=z2+(QK(1).^2).*b1;

zp1=z4+(QK(2).^2).*b2;

%: Расчет отметок уровней в узлах:

ZK=[z1 z2 z3 z4 z5 z6]';

QT=X1;

Pacx=[Pacx,QK];

YPOBH=[YPOBH,ZK];

end,

PACXOD=[QTZ,Pacx];

YRW=[YRW YPOBH(:,6)];

RSX=[RSX PACXOD(:,7)];

end,

YRW;

% Отметки уровней в узлах

RSX;

% Расходы в рукавах

% Графические построения

st=800:50:1050;

% Изменения полного расхода реки

plot(st,YRW'),grid

% График зависимости отметок уровней

% в узлах от полного расхода воды

pause,

 

plot(st,RSX),grid

% График зависимости расходов в рукавах

% от полного расхода воды

pause,

 

1. Выводы по работе.

Расчет выполняется с помощью двойного цикла, заданного операторами и . Каждый внутренний цикл, реализующий процедуру Ньютона-Рафсона-Канторовича, выполняется за шесть итераций .

Вычисления во внешнем цикле предусматривают получение значений отметок уровней в узлах и расходов в рукавах при вариации полного расхода реки в пределах 800¸1800 (м ³ /с) с шагом дискретности 10 (м ³ /с).

Расчет завершается формированием матрицы уровней размерности и расходов .

По полученным данным построены графики уровней и расходов рукавов. Цифрами на рисунках отмечены номера узлов и рукавов разветвления, к которым относятся соответствующие кривые.