П.2 Общие свойства параллельных проекций

Ø Определения. 1. Проекцией данной точки (А, черт. 3) на какую-нибудь плоскость (V) называется та точка (а) этой плоскости, в которой с ней пересекается прямая (AM), проведенная из данной точки параллельно заданному направле­нию (ху).

Прямая AM называется в та­ком случае проектирующей пря­мой, а плоскость V — плоскостью проекций. Если проектирующая прямая перпендикулярна к плоскости проекций, то проекция называется прямоугольной или ортогональной, в противном случае — косоугольной.

 

 

 

Черт. 3

 

2. Проекцией какой-нибудь фигуры на данную плоскость называется геометриче­ское место проекций всех точек этой фигуры на эту плоскость.

Ø Свойства проекции прямых линий.

Свойства	Наглядное изображение
Проекция прямой (АВ, черт. 3) на любую плоскость (V) есть прямая (ab).	Черт. 3
Если прямая параллельна плоскости проекций, то ее проекция параллельна самой прямой.	Черт. 4
Отрезок прямой, параллельной плоскости проекций, проектируется на нее в натураль­ную величину.	Черт.4
Отрезок прямой, непараллельной плоскости проекций, проекти­руется на нее вообще не в натуральную величину.	Черт. 5
Если отрезок (АВ, черт. 6) разделен на несколько частей (АС, СВ,...), то и проекция его разделится на столько же частей (ас, cb,...), причем части проекции пропорциональны соответствующим частям отрезка.	Черт. 6
Проекции параллельных прямых парал­лельны (черт. 7).	Черт. 7
Проекции пересекающихся прямых пересекаются между собой.

 

Сравнение проекций трех родов.

Сравнивая между собой проекции: ортогональные, косоугольные и перспективные, мы видим, что каждая из них обладает своими достоинствами и своими недостат­ками.

 

Проектирование	Плюсы	Минусы
Ортогональное	давая план, фасад, а иногда и профиль изображаемого предмета, позволяет безо­шибочно судить о расположении в пространстве всех частей его и об их относительном размере;	составить себе по ортогональным проекциям ясное понятие о том, как этот предмет представлялся бы глазу, часто весьма затруднительно (иногда чертеж бывает очень сложный);
Перспективное	наоборот, дает вполне наглядное зрительное представление о предмете;	но не указы­вает точных размеров его частей;
Косоугольное	уподобляясь пер­спективному, дает более наглядное, чем при ортогональном проектиро­вании, представление о виде предмета и до некоторой степени позволя­ет судить также и о размерах его частей (если известен масштаб «сок­ращения»).

 

Ортогональные проекции имеют весьма большое значение в тех случаях, когда по данному чертежу требуется изготовить самый пред­мет (например, при постройке домов, мостов, машин и т. п.). Перспек­тивное черчение употребительно в тех случаях, когда желательно, что­бы зритель, смотрящий на картину, сразу составил себе ясное пред­ставление об изображенном предмете; им пользуются в рисовании и живописи. Косоугольное проектирование полезно тогда, когда при помощи не очень сложных чертежей желают дать довольно наглядное представление о предмете и в то же время указать чертежом (хотя и приблизительно) на относительные размеры его частей. Такими чер­тежами иллюстрируются, например, книги по геометрии. Решим следующие задачи:

Задача 1. Изобразить на плоскости α данный четырехугольник, используя центральную проекцию.

Задача 2. Изобразить на плоскости α данный четырехугольник, используя косоугольную проекцию.

Задача 3. Изобразить на плоскости α данный четырехугольник, используя прямоугольную проекцию.