Тема8:Вычисление площадей и объемов геометрических тел

Используя ранее полученные знания, приступаем к решению задач, пользуясь следующими формулами.

1. Объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами a, b, c: V = a b c.

2. Объем любой призмы равен произведению площади основания на высоту призмы.

3. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту пирамиды.

4. Объем усеченной пирамиды равен разности объемов полной пирамиды и осекаемой от нее подобной пирамиды.

5. Объемы подобных тел относятся как кубы их соответствующих размеров.

6. Площадь сферы радиуса R: S = 4 П R².

7. Площадь сферического сегмента радиуса R и высотой H: S = 2 П RH.

8. Объем шара: V = 4/3 П R³.

9. Объем цилиндра: V = П R² H.

10. Боковая поверхность цилиндра: S = 2 П RH.

11. Площадь боковой поверхности конуса: S = П R l, где l – длина образующей конуса.

12. Объем конуса: V = 1/3 П R² H

Задача 1. Золотой жетон весит 7г. Он имеет форму четырехугольной призмы. Диагональ основания призмы 16мм. Узнать ширину этого жетона. Удельный вес золота 19,3г/см³.

Задача 2. Медный жетон весом 17г имеет форму правильной шестиугольной призмы. Сторона основания призмы 8мм. Вычислить толщину этого жетона. Удельный вес меди 7,8г/см³.

Задача 3. В стеклянный кубический сосуд надо налить воды так, чтобы ее объем составлял 2/3 объема сосуда. Как это сделать, ничего не измеряя?

Задача 4. Прямоугольный параллелепипед имеет ребра длиной 1, 2, 3.

Возьмите любые две скрещивающиеся диагонали соседних его граней и вычислите расстояние между ними, используя формулы объемов.

Задача 5. Основанием прямой призмы является пятиугольник, в котором три последовательных угла прямые и два равные тупые. Длины всех ее ребер известны. Из нее хотят вырезать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема. Основание его лежит в основании призмы. Как это сделать?

Задача 6. Все грани треугольной пирамиды – равные равнобедренные треугольники. Высота пирамиды лежит в одной из граней. Расстояние между наибольшими боковыми ребрами равно d. Найдите объем пирамиды.

Задача 7. Из куба вам требуется сделать правильную пирамиду наибольшего объема. Как вы будете действовать, если нужна: а) треугольная; б) четырехугольная; в) шестиугольная пирамида?

Задача 8. В кубе расположено шесть пирамид. Вершина каждой из них находится в центре одной из граней. А основание каждой совпадает с гранью куба, параллельной той, где взята вершина. Какую часть от объема куба составляет объем пересечения этих пирамид?

Задача 9. Дана правильная треугольная призма. На двух скрещивающихся диагоналях ее боковых граней находятся вершины правильного тетраэдра. Найдите отношение объема тетраэдра к объему призмы.

Задача 10. Два шара радиусами R₁ и R₂ пересекаются. Найдите объем их общей части, если расстояние между их центрами равно d.

Задача 11. Дан правильный тетраэдр с ребром 1. Найдите различные варианты укладки четырех равных шаров внутри его. В каком из них суммарный объем этих шаров будет больше?

Задача 12. Известны объемы вписанного и описанного шаров для: а) цилиндра; б) конуса; в) правильного тетраэдра. Можно ли по этим данным найти объемы самих многогранников?

Задача 13. Дан полушар. Какую часть от его объема составляет наибольший объем находящихся в нем: а) прямоугольного параллелепипеда; б) правильной треугольной призмы; в) правильной четырехугольной пирамиды.

Задача 14. Дан шар радиусом 1. Чему равен наибольший объем расположенного в нем тела, являющегося объединением цилиндра и конуса с общим основанием?

Задача 15. Корыто имеет форму полуцилиндра. Его емкость равна V, толщина стенок равна h, плотность материала, из которого оно сделано, равна r. Каким надо выбрать его размеры, чтобы его масса была: а) наименьшей; б) наибольшей?

Задача 16. Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,5м, высота 4м, причем цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2м. Плотность сена 0,03г/см³. Определить массу стога сена.

Задача 17. Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции с нижним основанием 14м, верхним 8м и высотой 3,2м. Найдите, сколько кубических метров земли находится на 1км насыпи.

Задача 18. Измерения прямоугольного бруска 3см, 4см, 5см. Если увеличить каждое ребро на x сантиметров, то поверхность увеличится на 54см². Как увеличится объем?

Задача 19. Три латунных куба с ребрами 3см, 4см, 5см переплавлены в один куб. Какое ребро у этого куба?

Задача 20. Колечко ограничено цилиндрической и сферической поверхностью. Как найти его объем?