Тема 7: Поверхность и объем прямой призмы

Одни из самых простых многогранников – это призмы. С некоторыми из них, например с параллелепипедами, школьники знакомы с младших классов. Примерами из практики могут служить (с большей или меньшей точностью) коробка комнаты, в которой мы находимся, дом, кузовы грузовиков и автобусов, шестигранный карандаш. На этих представлениях основано определение призмы. Призма – многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, имеющих общие стороны с каждым из оснований, называемых боковыми гранями призмы.

Можно сказать, что призма является цилиндром, в основании которого лежит многоугольник.

Прямая призма – призма, боковыми гранями которой являются прямоугольники. Прямая призма называется параллелепипедом, если ее основания параллелограммы. Если же основания призмы – прямоугольники, то она называется прямоугольным параллелепипедом. Длины ребер прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, называются линейными размерами параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед, у которого все линейные размеры равны, называется кубом.

Объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами a, b, c: V = a b c.

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

После изучения теории приступаем к решению задач.

Задача 1. Надо склеить картонный ящик с крышкой. Ребро его равно 20см. Сколько картона потребуется для стенок, дна и крышки ящика?

Задача 2. Дан прямоугольный параллелепипед. Сделать чертеж на доске и в тетрадях. Назвать и показать на чертеже его грани, ребра и вершины.

Задача 3. В прямой треугольной призме основания равны 10см, 17см и 21см, а высота призмы 18см. Найдите площадь сечения, проведенного через боковое ребро и меньшую высоту основания.

Задача 4. По боковой стороне b и основанию a найдите полную поверхность правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.

Задача 5. Если боковую поверхность призмы пересечь плоскостью, перпендикулярной боковому ребру, то получится многоугольник, который называется перпендикулярным сечением призмы. Как вы думаете: у призмы может быть только одно перпендикулярное сечение? Приведите пример.

Задача 6. Начертить в тетрадях развертку куба. Изготовить его дома и принести на следующий урок. Из каких фигур состоит куб? Может ли куб состоять из не равных квадратов?

«Плоскость в пространстве. Прямые в пространстве».

Задача 7. На модели куба показать пары параллельных прямых (а затем пары пересекающихся прямых) и указать плоскости, которые они определяют.

Задача 8. Три вороны одновременно взлетели с крыши дома. Через сколько секунд они окажутся в одной плоскости?

Задача 9. Для проверки плоскости слесарь прикладывает к ней ребро линейки и смотрит, не проходит ли свет между линейкой и плоскостью. Объясните этот способ проверки плоскости.

Задача 10. Докажите, что лист бумаги, на который вы сейчас смотрите, равен соседнему листу этого учебника.

Задача 11. Докажите, что ваша левая ладонь равна вашей правой ладони.

Задача 12. Можно ли провести прямую через точки A и B, нанесенные на доски двух соседних классов?

Задача 13. Можно ли провести плоскость через вершины гор Джомолунгма, Казбека и Олимпа?

Задача 14. Две различные линии x и y пересекаются в двух различных точках. Может ли быть, что линия y прямая? В каком случае это возможно? Ответ сопровождайте чертежом.

Задача 15. Две мухи взлетели с подоконника одновременно. Через сколько секунд они окажутся на одной прямой?

Задача 16. Докажите, что если точки A, B, C,D не лежат на одной плоскости, то прямые AB и CD не лежат на одной плоскости.

Задача 17. Сколько общих точек имеют прямая и плоскость в том случае, когда прямая совпадает с плоскостью?

Задача 18. Сделать чертеж куба и указать по чертежу все пары скрещивающихся прямых.

Задача 19. Самолет летит по прямой с постоянной скоростью. В любой момент вы можете определить расстояние до него. Как найти его скорость?

Задача 20. Концы ломаной, состоящей из двух отрезков, лежат по разные стороны от данной плоскости. Докажите, что она пересекает эту плоскость.

Задача 21. Через данную точку проведите плоскость, параллельную каждой из двух пересекающихся прямых. Всегда ли это возможно?

Задача 22. Сколько надо заплатить за штукатурку стен и потолка комнаты, длина которой 6,4м, ширина 4,8м, высота 2,8м, если площадь окон и дверей составляет 12% поверхности стен и 1м² штукатурки стоит 90 рублей?

Задача 23. В классе 30 учеников. На каждого ученика полагается 6,5м³

воздуха, высота класса 3,5м. Какова должна быть площадь пола этого класса?

Задача 24. Вычислить вес воды в баке (сечение бака прямоугольное), глубина которого 2м, ширина 1,5м, длина 3,6м. Сколько ведер воды в этом баке?

Задача 25. Вместимость ящика должна быть 0,9м³ , причем длина его должна быть 1,2м, ширина 80см. Какова должна быть высота?