Тема 5: Шар

О геометрических свойствах шара и его поверхности – сферы – написаны целые книги. Некоторые из этих свойств были известны еще древнегреческим геометрам, а некоторые найдены совсем недавно. Эти свойства (вместе с законом естествознания) объясняют, почему, например, форму шара имеют небесные тела и икринки рыб, почему в форме шара делают батискафы и футбольные мячи, почему так расположены в технике шарикоподшипники и так далее. Из всех свойств шара мы рассмотрим самые простые.

Пространственными аналогами окружности и круга на плоскости являются сфера и шар. Шар является телом вращения.

Сферой называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек пространства, одинаково удаленных от данной точки. Эта точка называется центром сферы. Расстояние от точек сферы до ее центра называется радиусом сферы.

Фигура, ограниченная сферой называется шаром. Радиус сферы называется также радиусом шара.

Шар с центром в точке О и радиусом R представляет собой геометрическую фигуру, состоящую из всех точек пространства, удаленных от данной точки на расстояние, не превосходящее R.

Прямая, соединяющая две точки поверхности шара и проходящая через его центр называется диаметром. Все радиусы одного шара равны между собой; всякий диаметр равен двум радиусам.

Два шара одинакового радиуса равны, потому что при вложении они совмещаются.

Площадь сферы радиуса R: S = 4 П R².

Площадь сферического сегмента радиуса R и высотой H: S = 2 П R H.

Объем шара: V = 4/3 П R³.

Учащимся можно предложить следующие задачи.

Задача 1. Диаметр глобуса 0,25м. Вычислить площадь его поверхности.

Задача 2. Сплошной металлический шар перелит в цилиндр, высота которого равна диаметру шара. Каково отношение диаметра основания цилиндра к диаметру шара?

Задача 3. Купол здания имеет форму полушара с диаметром 6м. Что можно сказать о числах, выражающих поверхность полушара и его объем?

Задача 4. В мензурку цилиндрической формы, радиус основания которой 4см, погружен шарик, радиус которого 3см. Насколько поднялась вода в мензурке?