Тема 6: Правильная пирамида

При изучении данной темы для начала ученикам надо задать вопрос: Чем отличаются пространственные тела от фигур, изучаемых в курсе планиметрии: треугольников, квадратов и так далее? (Устанавливают, что основное отличие заключается в том, что эти тела занимают часть пространства, имеют объем; имеют три измерения: длину, ширину, высоту; каждое тело со всех сторон ограничено поверхностью).

Простейшими многогранниками наряду с призмами являются пирамиды. Школьники знакомы с ними с младших классов и могут представить себе, например, египетские пирамиды. На этих представлениях и основано определение пирамиды.

Многогранник – это геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников. Простейшими среди них являются призмы и пирамиды.

Пирамида – многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников, имеющих общую вершину, называемых боковыми гранями пирамиды (общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды; ребра, сходящиеся в вершине пирамиды, называются боковыми ребрами).

Правильная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, и все боковые ребра которой равны.

Правильные пирамиды имеют свойства:

1. Боковые ребра правильной пирамиды равны.

2. Боковые грани правильной пирамиды – равные друг другу равнобедренные треугольники.

Пирамида, в основании которой лежит треугольник называется тетраэдром, а пирамида, в основании которой лежит четырехугольник – октаэдром.

Если из вершины пирамиды провести отрезки во все точки основания, то они, очевидно, заполнят пирамиду. Поэтому, вспоминая определение конуса, можно сказать, что пирамида – это конус с многоугольником в основании.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту пирамиды.

Объем усеченной пирамиды равен разности объемов полной пирамиды и осекаемой от нее подобной пирамиды.

Решаем следующие задачи.

Задача 1. Какая существует зависимость между длиной бокового ребра правильной пирамиды, ее апофемой и стороной основания?

Задача 2. Какой угол образует боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды с плоскостью основания, если высота пирамиды по длине равна: 1) половине диагонали основания; 2)диагонали основания?

Задача 3. Приготовить чертеж выкройки и вычислить площадь боковой и полной поверхности правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой 10см, апофема 16см.

Задача 4. Парусиновую палатку можно принять по форме за правильную четырехугольную пирамиду. Длина стороны ее основания 6м, боковое ребро 5м. Сколько квадратных метров парусины пошло на эту палатку?

Задача 5. Беседка в виде прямоугольного параллелепипеда размером (6, 6, 5) имеет крышку высотой 4м. Какова площадь поверхности крышки и стен этой беседки?

Задача 6. Сколько листов железа пошло на покрытие крышки, имеющей форму четырехугольной пирамиды со стороной в 2,5м при длине ската в 4,5м, если железный лист имеет в длину 142см и в ширину 71см, на швы и обрезки пойдет 0,5 листа?

Задача 7. Палатка имеет форму правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания в 5м и боковым ребром в 6,5м. Сколько метров брезента шириной в 1,5м требуется на палатку, если на заделку швов уходит 8% материала, считая по его длине?

Задача 8. Сколько пирамид высотой в 8см и площадью основания 20см² можно получить из прямоугольной призмы, размеры которой 24см, 20см, 18см?

Задача 9. Куску глины придана форма пирамиды высотой 9см с основанием прямоугольной формы, размером (8 на 9)см² . Из этого куска нужно изготовить куб. Какой длины будет его ребро?

Задача 10. Чугунная пирамида весит 1012,5кг. Основанием пирамиды служит квадрат со стороной 45см. Узнать высоту пирамиды. Удельный вес чугуна 7,5г/см³ .

Задача 11. Самая большая египетская пирамида имеет высоту 148м; основание ее квадрат со стороной 233м. Вычислить объем этой пирамиды и узнать, сколько понадобилось бы поездов по 20 вагонов в каждом, чтобы подвести необходимый для ее постройки камень, если каждый вагон вмещает 10т (удельный вес камня 2,6г/см³).