Примеры евклидовых пространств
В данном пункте приведены примеры наиболее часто встречающихся евклидовых пространств. Заметим, что в одном и том же линейном пространстве скалярное произведение можно ввести различными способами. Рассмотрим различные способы задания скалярного произведения в двух линейных пространствах Рассмотрим линейное пространство Первый способ (задание скалярного произведения стандартным образом):
Покажем, что при таком задании скалярного произведения в
Второй способ (задание скалярного произведения в виде симметрической билинейной формы):
где Замечание 3.1. Доказательство того факта, что скалярное произведение, заданное в виде симметрической билинейной формы, удовлетворяет всем аксиомам евклидова пространства, можно посмотреть в п. 6.7. Рассмотрим линейное пространство
Первый способ задания скалярного произведения:
Второй способ задания скалярного произведения:
где Можно показать, что в каждом случае выполняются все аксиомы евклидова пространства.
|
и 
.
. Скалярное произведение в нем можно задать двумя способами.
.
евклидова пространства. Действительно, при всех 
, 
имеем:
,
,
,
, причем 
.
,
симметрическая (
, 
) положительно определенная матрица 
-го порядка.
степеней, не превосходящих натуральное число 
, 
.
.
попарно различные действительные числа.
