Нормированные пространства

В евклидовом пространстве обобщением понятия длины вектора является его норма.

Определение 3.2. Функцию, заданную на линейном пространстве , которая каждому вектору ставит в соответствие действительное число , называют нормой вектора, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

, причем ;

, ;

, при всех (неравенство треугольника).

При этом линейное пространство , в котором введена норма , называется нормированным пространством.

Отметим, что евклидовы пространства и нормированные пространства есть линейные пространства с дополнительными структурами – скалярным произведением и нормой соответственно. При этом если в линейном пространстве введено скалярное произведение, то исходя из этого скалярного произведения можно ввести и норму в этом пространстве, то есть превратить его в нормированное пространство.

Теорема 3.2. Если – евклидово пространство со скалярным произведением , то есть нормированное пространство с евклидовой нормой

. (3.2)

□ Докажем, что норма при помощи формулы (3.2) введена корректно (докажем выполнимость аксиом ).

Выполнимость аксиомы следует из аксиомы определения евклидова пространства.

Выполнимость аксиомы доказывается непосредственно:

, .

Выполнимость аксиомы доказывается с использованием неравенства Коши-Буняковского, которое выполняется в силу того, что ­– евклидово пространство:

■

Приведем далее различные способы введения норм в двух евклидовых пространствах и .

Рассмотрим пространство

.

В нем норму определяют одним из четырех способов:

1) Введение нормы через стандартное скалярное произведение (евклидова норма или -норма):

.

2) Введение нормы через скалярное произведение в виде билинейной формы:

,

где симметрическая (, ) положительно определенная матрица -го порядка.

3) -норма или октаэдрическая норма:

.

4) -норма или кубическая норма:

.

В пространстве матриц размера норму можно вводить различными способами. Наиболее часто используется подход, связанный с введением так называемой индуцированной нормы.

Определение 3.3. Если в пространстве введена норма (см. выше), то индуцированной (подчиненной) нормой в пространстве называется

.

При этом норма в пространстве называется порождающей норму в пространстве .

Задавая различные нормы в , мы будем получать индуцированные нормы в (см. табл. 3.1).

Таблица 3.1

№	Норма в	Индуцированная норма в
	евклидова норма или -норма	евклидова норма или -норма . По-другому называется спектральной нормой
	-норма	максимальная столбцевая или октаэдрическая норма
	-норма:	максимальная строчная или кубическая норма

Другой подход с введением нормы в пространстве связан с тем, что это пространство интерпретируют как линейное пространство размерности . Тогда можно ввести еще две нормы:

1) -норма ,

2) -норма .

В пространстве , элементами которого являются многочлены относительно переменной степеней, не превосходящих натуральное число :

,

евклидову норму можно ввести одним из следующих способов:

,

,

где попарно различные действительные числа, .

В любом евклидовом пространстве можно ввести понятие косинуса угла между двумя векторами. В силу неравенства Коши-Буняковского можно записать неравенство

. (3.3)

Определение 3.3. Углом между ненулевыми векторами в евклидовом пространстве называется значение от до , определяемое из равенства

. (3.4)

Заметим, что угол между ненулевыми векторами определен корректно в силу неравенства (3.3), то есть

.