Понятие евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского

ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

 

Направление 080100

«Экономика»

 

Очная форма обучения

 

Пусть задано линейное пространство. Возникает вопрос: можно ли измерять расстояние между элементами (векторами) этого пространства, находить углы между векторами и длины (модули) этих векторов. Ответы на этот вопрос дает понятие евклидова линейного пространства.

Определение 3.1. Если в линейном пространстве любым двум элементам можно поставить в соответствие действительное число , называемое скалярным произведением векторов и удовлетворяющее аксиомам:

,

, ,

, ,

, причем ,

то это пространство называется евклидовым пространством.

Число называется скалярным квадратом вектора .

Аксиома определяет симметричность скалярного произведения, аксиомы – аддитивность и однородность по первому множителю, неотрицательность скалярного квадрата.

Поскольку евклидово пространство является линейным, то на него переносятся все понятия, определенные для линейного пространства. В частности, можно ввести понятие базиса и размерности евклидова пространства. Сформулируем простейшие следствия из аксиом евклидова пространства:

1) , ,

2) ,

3) .

Теорема 3.1. В евклидовом пространстве для любых двух векторов справедливо неравенство Коши-Буняковского:

. (3.1)

□ Отбрасывая тривиальный случай, когда один из векторов нулевой (в этом случае неравенство (3.1) выполняется), предположим, что . Рассмотрим при произвольном числе вектор и найдем его скалярный квадрат

.

Преобразовав скалярное произведение согласно аксиомам, получим

.

Левую часть полученного неравенства можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно (), принимающий неотрицательные значения при каждом . Тогда его дискриминант должен быть неположительным, то есть

,

откуда и следует неравенство (3.1). ■