ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ

Из уравнений Максвелла следует, что векторы напряженностей Е и Н переменного электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению типа:

где - оператор Лапласа, v - фазовая скорость.

Всякая функция, удовлетворяющая этим уравнениям, описывает некоторую волну. Следовательно, электромагнитные поля действительно могут су­ществовать в виде электромагнитных волн. Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением

где , e_о и m_о - соответственно электрическая и магнитная постоянные,e и m - соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды.

В вакууме (при e=1 и m=1) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью с. Так как em>1, то скорость распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме.

Это указывает на глубокую связь между электромагнитными и оптическими явлениями, позволившую Максвеллу создать электромагнитную теорию света, согласно которой свет представляет собой электромагнитные волны.

Следствием теории Максвелла является поперечность электромагнитных волн:векторы Е и Н напряженностей электрического и магнитного полей волны взаимно перпендикулярны (на рис.227 показана моментальная «фотография» плоской электромагнитной волны) и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору v скорости распространения волны, причем векторы Е, Н и v образуют правовинтовую систему. Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы Е и Н всегда колеблются в одинаковых фазах (см. рис.227), причем мгновенные значения E и Н в любой точке связаны соотношением

.

Следовательно, Е и Н одновременно достигают максимума, одновременно об­ращаются в нуль и т. д.

От волновых уравнений и можно перейти к уравнениям

 

где соответственно индексы у и z при Е и Н подчеркивают лишь то, что векторы Е и Н направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей у и z.

Уравнениям удовлетворяют, в частности, плоские монохроматические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной строго определенной частоты), описываемые уравнениями

где E _o и Н _o- соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны,w - круговая частота волны, k =w /v -волновое число, j - начальные фазы колебаний в точках с координатой х =0. В уравнениях j одинаково, так как колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой.