Ускорения характерных точек кривошипного вала

Рис.1.1. Кинематический анализ ведущего звена: а – схема звена; б – план скоростей; в – план ускорений.

Ускорение точки В, принадлежащей кривошипу АВ, определим методом решения векторного уравнения (рис.1.1)

, (1.7)

где – величина вектора нормального ускорения точки В во вращательном движении вокруг точки А; этот вектор всегда направлен к оси вращения в любом положении механизма;

– величина вектора касательного ускорения; этот вектор всегда направлен перпендикулярно кривошипу АВ в любом положении механизма.

Направление этих векторов указано под слагаемыми уравнения (1.7). В дальнейшем в векторных уравнениях будем обозначать: если слагаемое подчеркнуть двумя линиями, то это означает, что вектор известен по величине и направлению, а одной линией – вектор известен по направлению.

Выбираем масштаб ускорений и находим длину отрезков, изображающих на плане ускорений вектора и (см. рис.1.1, в), по следующим формулам:

; , (1.8)

где p – полюс плана ускорений.

Решив уравнение (1.7), графически определяем абсолютное ускорение точки В:

.

 

1.5.2. Расчёт ускорений характерных точек структурных групп II класса методом планов ускорений

В образовании плоских многозвенных рычажных механизмов чаще всего используются двухзвенные структурные группы с двумя внешними и одной внутренней одноподвижными кинематическими парами. Одна из внешних кинематических пар этой группы используется для шарнирного соединения с кривошипом или каким-либо другим подвижным звеном механизма. Вторая свободная пара используется для соединения группы со стойкой. Если присоединение группы к стойке осуществлено при помощи вращательной кинематической пары, то ускорение геометрического центра шарнира равно нулю. Если для присоединения группы к стойке использована поступательная пара, то линия действия вектора ускорения совпадает с направляющей для ползуна. Исходя из этих предпосылок задача кинематического исследования сводится к определению ускорения внутренней кинематической пары каждой структурной группы.

Методика решения таких задач включает:

- составление уравнений связи между кинематическими параметрами узловых точек каждого звена, входящего в структурную группу;

- графическое решение этих уравнений применительно к выбранному положению механизма методом построения планов скоростей и ускорений;

- расшифровку планов и анализ полученных результатов.

Если в точке В к кривошипу АВ присоединить структурную группу с внутренней вращательной кинематической парой в точке С, то уравнение связи между ускорениями этих точек будет иметь следующий вид:

а) для шатунно-поршневой группы (рис. 1.2)

 

Рис.1.2. Силовой расчет кривошипно-шатунного механизма: а – кинематическая схема механизма; б – план скоростей; в – план ускорений; г – расчетная схема группы 2–3; д – план сил группы Аcсура 2–3; е – расчетная схема входного звена; ж – план сил входного звена.

; (1.9)

 

б) для шатунно-коромысловой группы (рис. 1.3)

Рис.1.3. Силовой расчет группы типа ВВВ: а – расчетная схема группы; б – план ускорений; в– план сил группы.

; (1.10)

. (1.11)

 

Если в точке В к кривошипу присоединить кулисную группу с внутренней поступательной кинематической парой, то точка В₁ кривошипа АВ, точка В₂ ползуна 2 и точка В₃ кулисы ВД в данный момент геометрически совпадут и уравнения связи между ускорениями этих точек примут следующий вид (рис. 1.4):

Рис.1.4. Силовой расчет кривошипно-кулисного механизма: а) – кинематическая схема механизма; б) – план скоростей; в) – план ускорений; г) – расчетная схема группы 4–5; д) – план сил группы 4–5; е) – расчетная схема ползуна 4; ж) – расчетная схема группы 2–3; з) – план сил группы 2–3; и) – расчетная схема ползуна 2.

а) для точки В₁ кривошипа АВ

; (1.12)

б) для точки В₂ ползуна 2, образующего с кривошипом АВ вращательную кинематическую пару,

; (1.13)

в) для точки В₃, принадлежащей кулисе 3 и образующей с ползуном 2 поступательную кинематическую пару

; (1.14)

г) для точки В₃, принадлежащей кулисе 3, вращающейся вокруг неподвижного шарнира Д,

. (1.15)

В уравнениях (1.9 – 1.15) приняты условные обозначения:

- две горизонтальные черты под слагаемым означают, что вектор определён по величине и направлению;

- одна горизонтальная линия под слагаемым означает, что известна только линия действия вектора; величина и направление этого вектора определяются только после графического решения векторного уравнения;

- знаки параллельности (||) и перпендикулярности (^) указывают на линию действия вектора по отношению к осевой линии рассматриваемого звена механизма;

- в индексе символа нормального ускорения первая буква означает, с какой точкой звена механизма совпадает начало, а вторая буква – к какой точке этого звена направлено острие вектора. Например, в уравнениях (1.9, 1.10) символика означает, что вектор нормального ускорения точки С во вращательном движении вокруг точки В приложен к точке С и направлен к точке В шатуна ВС.

Величина вектора нормального ускорения какой-либо точки K во вращательном движении звена KL вокруг точки L определяется по формуле

. (1.16)

На плане ускорений величина этого вектора изображается отрезком

, (1.17)

где i – номер звена KL на схеме механизма.

Угловая скорость i-го звена определяется по формуле

, (1.18)

где – аналог угловой скорости i-го звена в заданном положении механизма.

Численное значение Кориолисова ускорения в уравнении (1.14) определяется по формуле

, (1.19)

где – скорость движения ползуна относительно кулисы 3;

, (1.20)

где – аналог относительной скорости ползуна.

Направление Кориолисова ускорения совпадает с направлением вектора , повёрнутого на 90° в сторону вращения кулисы.

На плане ускорений этот вектор изображается отрезком (см. рис. 1.4,в)

. (1.21)

Методика построения планов ускорений подробно рассмотрена в учебной литературе [1, с. 79–96], [2, с. 84–92] и др.

В качестве примера построение плана ускорений приведено:

по уравнениям (1.7) и (1.9) на рис. 1.2, в;

по уравнениям (1.7) и (1.10, 1.11) на рис. 1.3, б;

по уравнениям (1.7) и (1.12–1.15) на рис. 1.4, в.

Если точка S_i принадлежит звену KL, то её расположение на отрезке (k l) плана ускорений определяется из соотношения, составленного по теореме подобия,

или , (1.22)

где KL – длина отрезка, изображающего i-е звено на кинематической

схеме механизма, мм;

KS_i– расстояние от точки K до точки S_i на отрезке KL, мм;

k l – расстояние между точками k и l на плане ускорений, мм;

ks_i– расстояние от точки k до точки s_i на плане ускорений, мм.

Величина и направление абсолютного ускорения точки S i-го звена механизма определяются отрезком (ps_i), соединяющим точку S_i c полюсом плана ускорений (см. рис. 1.2, в; 1.3, б и 1.4, в).

Из плана ускорений касательные ускорения узловых точек и угловые ускорения звеньев определяются по следующим формулам:

; , (1.23)

где (n_ik) – длина отрезка, изображающего вектор касательного ускорения звена KL на плане ускорений, мм;

l _kl – истинная длина i-го звена механизма, м.

Ускорение масс центра i-го звена механизма определяется по формуле

, (1.24)

где (ps_i) – расстояние от полюса до точки s_i отрезка (k l) плана ускорений, мм.

Определив по формулам (1.23) и (1.24) величину угловых ускорений центров масс звеньев, следует их направление указать на кинематической схеме механизма (см. рис.1.2,а–1.4,а) и приступить к расчёту сил инерции и моментов инерции звеньев механизма.

 

1.6. Силы инерции звеньев механизма

 

Силы инерции – это силы, распределенные по всей длине звена. Для упрощения уравнений и удобства их решения силы инерции приводятся к главному вектору и главному моменту:

; , (1.25)

где m_i – масса i-го звена, кг;

I_si– момент инерции i-го звена относительно оси, проходящей через центр масс, кг×м²;

– ускорение центра масс i-го звена, м/c²;

– угловое ускорение i-го звена, с^-2.

Из уравнений (1.25) следует, что главный вектор приложен к центру масс S звена и направлен противоположно вектору ускорения центра масс. Главный момент М_i направлен противоположно угловому ускорению звена.

Звенья плоских рычажных механизмов могут совершать поступательное, вращательное или плоскопараллельное движения. В зависимости от вида движения и расположения центра масс на звене силы инерции приводятся к главному вектору и главному моменту:

a) если звено совершает возвратно-поступательное движение (ползун), то силы инерции приводятся к главному вектору

; (1.26)

б) если звено совершает вращательное движение вокруг оси, проходящей через центр масс (кривошип), то силы инерции приводятся к главному моменту

; (1.27)

в) если звено совершает плоскопараллельное движение или вращательное движение вокруг оси, не проходящей через центр масс (кулиса, коромысло, шатун), то силы инерции приводятся к главному вектору и главному моменту:

; , (1.28)

где m_i, I_si – масса и момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр масс;

, e_i – ускорение центра масс и угловое ускорение звена.

Силы тяжести звеньев определяются по формуле

, (1.29)

где g = 9,81» 10 м/с² – ускорение свободного падения.

В заданиях на курсовое проектирование чаще всего массой кривошипа пренебрегают, поэтому Р_i = 0. Однако в расчетах следует учитывать массу маховика, который устанавливается на кривошип.

Если модуль сил тяжести или других сил не превышает 5% от модуля наибольшей силы, действующей на рассматриваемую структурную группу, то этими силами в расчетах следует пренебречь. Определенные таким образом силы прикладывают к соответствующим точкам звеньев структурной группы, вычерченной в соответствующем положении в масштабе μ_l.

 

1.7. Реакции кинематических пар

 

Рис.1.5. Направление реакций кинематических пар: а – поступательная; б – вращательная.

В образовании плоских рычажных механизмов используются вращательные и поступательные кинематические пары. Из теоретической механики известно, что сила взаимодействия двух соприкасающихся тел при отсутствии трения направлена по общей нормали к их поверхности. В поступательной паре сила (реакция) R₁₂ приложена к звену 2 от звена 1, и направлена по нормали n–n к поверхности соприкосновения звеньев (рис. 1.5,а).

Модуль реакции R₁₂ и расстояние b неизвестны и должны быть определены в процессе силового расчета.

Во вращательной паре без учета сил трения реакция R₁₂ направлена нормально к цилиндрической поверхности соприкосновения звеньев, т.е. проходит через центр шарнира О (рис. 1.5,б).

Положение центра шарнира всегда известно, но модуль реакции R₁₂ и угол β неизвестны. Для упрощения расчетов реакции удобно представлять в виде двух составляющих: Rⁿ₁₂ – нормальной составляющей, направленной вдоль рассматриваемого звена, и R^τ₁₂ – касательной составляющей, направленной перпендикулярно рассматриваемому звену. В этом случае реакции Rⁿ₁₂ и R^τ₁₂ будут неизвестны только по величине. Следовательно, от каждой реакции, действующей в любой кинематической паре, в расчетных уравнениях появляются две неизвестные величины, которые определяются в процессе силового расчета.

 

1.8. Определение реакций в кинематических

парах механизма

 

Для определения реакций в кинематических парах надо предварительно разложить механизм на структурные группы. Каждая структурная группа вычерчивается отдельно в масштабе μ_l и к ее звеньям прикладываются соответствующие силы. Силовой расчет механизма начинают с определения давлений в кинематических парах структурной группы, наиболее удаленной от входного звена.

Определение реакций в кинематических парах рассмотрим на следующих примерах.

Кривошипно-шатунный механизм одноступенчатого компрессора (см.рис. 1.2, а). В рассматриваемом примере имеется одна структурная группа, состоящая из звеньев 2 – 3 (рис. 1.2, г).

Воздействие входного звена 1 и стойки 0 на звенья отсоединенной группы 2–3 заменяем силами реакций (см. рис. 1.2, г). Одну из составляющих реакций вращательных кинематических пар удобно разложить по направлению звеньев, а вторую – перпендикулярно. Например, R₁₂ представим как сумму векторов двух составляющих:

 

. (1.30)

 

Первая цифра индекса показывает номер действующего звена, а вторая – номер звена, на которое производится действие. Например, R₁₂ – сила давления первого звена на второе, R₀₃ – действие стойки 0 на ползун 3.

В соответствии с принципом Даламбера условие равновесия структурной группы 2–3 имеет следующий вид:

 

. (1.31)

 

Это уравнение имеет три неизвестных: . Реакцию следует определить из уравнения моментов сил, действующих на звено 2, составленного относительно шарнира С.

 

(1.32)

 

Так, если при решении уравнения (1.32) реакция будет иметь положительное значение, то её направление будет совпадать с направлением, указанным на чертеже (см.рис.1.2,г). Если реакция будет иметь отрицательное значение, то на расчетной схеме направление вектора следует изменить на противоположное.

Величину векторов и определяем построением плана сил в масштабе μ_Р по уравнению (1.31) (рис.1.2,д). Построение плана сил следует начинать с реакции и последовательно прикладывать все векторы сил, действующие на звено 2. К последнему вектору силы Р₂, действующему на звено 2, прикладываются вектора сил, действующие на звено 3. Через конец вектора последней силы Р_пс проводится линия действия реакции , а через начало реакции – линия действия реакции . Линии действия реакции и проводятся до их взаимного пересечения. Векторы сил и направляются так, чтобы многоугольник сил был замкнутым. При таком построении легко определить давление в промежуточном шарнире кинематической пары С по уравнению

. (1.33)

Модуль реакций R₁₂, R₀₃ и R₃₂ определяется из плана сил (см.рис.1.2,д) по следующим формулам:

; ; (1.34)

Определение реакций в кинематических парах группы Ассура II класса 1-го вида (ВВВ). Рассмотрим данный вопрос на примере соломонабивателя зерноуборочного комбайна (см. рис. 1.3).

Пусть даны силы тяжести G₂ и G₃ звеньев 2 и 3; сила полезного сопротивления Р_ПС; моменты инерции и относительно осей, проходящих через центры масс звеньев 2 и 3. Определим реакции в кинематических парах В, С, О₃.

Вычисляем силы инерции (главные векторы Р_И и главные моменты сил инерции М_И) по следующим формулам:

, (1.35)

где – линейные ускорения центров масс звеньев 2 и 3, определяемые из планов ускорений (см. рис. 1.3,б);

– угловые ускорения звеньев 2 и 3.

Силы инерции и прикладываем в точках S₂ и S₃ (см. рис.1.3,а) противоположно векторам и (см. рис.1.3,б). Моменты от пар сил инерции М₂ и М₃ направляем противоположно угловым ускорениям

Реакции во внешних парах В и О₃ разложим на две составляющие, направленные по осям звеньев 2 и 3 и перпендикулярно к этим осям, и

обозначим их соответственно через . Тангенциальные составляющие находим из уравнений моментов всех сил относительно точки С для каждого звена в отдельности. Для звена 2 имеем:

(1.36)

Из этого уравнения находим . Аналогично составляем уравнение моментов для звена 3:

(1.37)

Отсюда находим . Все плечи сил в уравнения моментов подставляем в миллиметрах, взяв их непосредственно с чертежа.

Нормальные составляющие определяем, решая графически векторное уравнение равновесия структурной группы (звенья 2–3):

(1.38)

В этом уравнении все силы, кроме , известны и по величине, и по направлению. Реакции известны только по направлению.

Уравнение (1.38) решаем графически, строя план сил в некотором масштабе (рис. 1.3, в). Для этого последовательно откладываем все известные силы, перенося их из плана группы на план сил параллельно самим себе. Затем из начала вектора и конца вектора проводим прямые, параллельные соответственно звеньям 2 и 3. Точка пересечения этих прямых определит длины векторов .

Для определения реакций в шарнире С решаем графически векторное уравнение сил, приложенных к одному из звеньев, например к звену 2. Отбрасываем звено 3 и его действие заменяем реакцией , которую определяем из графического решения уравнения

(1.39)

Определение реакций в кинематических парах кулисной структурной группы. Этот вопрос рассмотрим на примере механизма строгального станка (рис.1.4). Данный механизм состоит из двух групп Ассура II класса 4-го (звенья 4–5) и 3-го вида (звенья 2–3).

Рассмотрим особенности силового расчета группы Ассура, состоящей из звеньев (4–5) (рис.1.4, г). Это группа образована двумя ползунами, соединенными между собой поступательной кинематической парой. На данную структурную группу действуют следующие силы: тяжести звена 5 G₅, полезного сопротивления Р_ПС и инерции звена 5 Р₅. Масса звена 4 мала по сравнению с массами остальных звеньев и ею можно пренебречь. Значит, G₄ = 0 и Р₄ = 0.

Исполнительное звено (ползун 5) образуют со стойкой поступательную пару в точке Е¢ и дублирующую в точке Е². Реакции этих пар приводятся к равнодействующей R₀₅, приложенной в точке Е². В точке С свободной (внешней) парой является вращательная, соединяющая ползун 4 с кулисой 3. В общем случае реакция R₃₄ этой пары не известна по величине и направлению.

Направление реакции R₃₄ установим, рассмотрев равновесие звена 4 (рис.1.4,е). Так как это звено невесомое, то оно будет находиться в равновесии под действием двух сил – R₃₄ и R₅₄. Эти силы равны и противоположно направлены. Действия направляющей звена 5 на звено 4 заменим реакцией R₅₄. Известно, что без учета сил трения направление реакции R₅₄ перпендикулярно к направляющим ползуна 4, следовательно и реакция R₃₄ во вращательной кинематической паре будет иметь такое же направление.

Уравнение равновесия структурной группы (4–5) имеет следующий вид:

, (1.40)

где F₅ – главный вектор сил инерции ползуна 5, рассчитанный по формуле (1.26).

В данном векторном уравнении неизвестными являются только две силы R₀₅ и R₃₄, поэтому его решение выполним графически методом построения плана сил (рис. 1.4, д).

Определение реакций в кинематических парах групп Ассура II класса 3-го вида (рис. 1.4, ж). Эта группа находится в равновесии под действием внешних сил: R₄₃ = –R₃₄, величина и направление которой определены из предыдущих расчетов; силы тяжести G₃ звена 3; силы инерции и момента сил инерции звена 3, расчёт которых выполняется по зависимостям (1.28). Масса звена 2 мала по сравнению с массами остальных звеньев и ею можно пренебречь. Значит, G₂ = 0, Р₂ = 0. Реакции, подлежащие определению: R₁₂ – приложенная в центре шарнира А и R₀₃ – приложенная в центре шарнира Д.

Составим уравнение равновесия структурной группы (2–3) под действием внешних сил:

. (1.41)

Это векторное уравнение можно решить графически, если предварительно найти модуль силы R₁₂. Направление реакции R₁₂ находим, рассмотрев равновесие звена 2 (рис. 1.4,и). Так как это звено невесомое, то оно будет находиться в равновесии под действием двух сил – R₁₂ и R₃₂. Значит, эти силы равны и противоположно направлены. Известно, что без учета сил трения реакция R₃₂ направлена перпендикулярно к направляющей СД ползуна 2.

Зная направление R₁₂, найдем её модуль из уравнения моментов всех сил относительно точки Д:

, (1.42)

откуда находим R₁₂.

Уравнение (1.41) решаем графически методом построения плана сил. Реакция R₀₃ замыкает силовой многоугольник, построенный по уравнению (1.41).

 

1.9. Расчёт входного звена

 

Механизмы целого ряда двигателей и рабочих машин представляют собой не простые, а разветвленные кинематические цепи. Например, кривошипно-ползунные механизмы двухцилиндровых двигателей внутреннего сгорания. При силовом расчете этих механизмов нужно рассмотреть вначале группу Ассура, состоящую из звеньев 4–5, а затем из звеньев 2–3 аналогично примеру (см. рис. 1.2, а). В результате этих расчетов определяем реакции в кинематических парах В₁ (2–1) и В (4–1) шатун-кривошип, т.е. R₂₁ и R₄₁.

Кроме реакций R₂₁ и R₄₁ на кривошип действуют силы:

G_M – сила тяжести маховика, Н;

P₄₁ – главный вектор сил инерции кривошипа вместе с маховиком; если ось вращения маховика совпадает с осью вращения кривошипа и кривошип уравновешен, то P₄₁ = (m₁ + m₂) × = 0, так как = 0;

– главный момент от сил инерции, Н·м,

,(1.43)

где I_M – момент инерции маховика, кг×м²;

e₁ – угловое ускорение кривошипа в рассматриваемом положении механизма, с^-2;

R₀₁ – неизвестная по величине и направлению сила воздействия неподвижной опоры А на кривошип; эта сила на рис. 1.6,а и 1.6,б условно указана пунктирным вектором.

В расчётах численные значения параметров G_M, I_M и e₁ принимаются по результатам динамического анализа машинного агрегата.

При расчёте схемы рабочей машины на кривошипный вал со стороны приводного двигателя действует неизвестная движущая сила Р_Д.

Рис. 1.6. Расчетные схемы: а – простого; б – разветвленного кривошипа;

в, г – планы сил соответственно простого и разветвленного

кривошипа.

 

При расчёте схемы двигателя внутреннего сгорания на кривошипный вал со стороны рабочей машины действует неизвестная сила полезного сопротивления Р_С.

Под действием рассмотренной системы сил кривошипный вал не находится в равновесии (при структурном анализе входного звена установлено, что степень подвижности W = 1).

Для уравновешивания кривошипного вала в точке В (см.рис.1.6,а) или в одной из точек В или В₁ (см.рис.1.6,б) следует перпендикулярно кривошипу АВ приложить уравновешивающую силу Р_УР, равную:

а) Р_УР = Р_Д – при расчёте схемы рабочей машины;

б) Р_УР = Р_С – при расчёте схемы двигателя внутреннего сгорания.

Направление вектора Р_УР следует принять таким, чтобы момент силы

М_УР = Р_УР × l _AB (1.44)

препятствовал вращению кривошипа вокруг точки А под действием сил R₄₁ и R₂₁ и момента . Величина уравновешивающей силы определяется из уравнения моментов сил, действующих на кривошип АВ, относительно шарнира А. Условие равновесия кривошипа под действием заданной системы сил определяется векторным уравнением

. (1.45)

Решение уравнения (1.45) осуществляется построением плана сил в масштабе m_p (рис.1.6 в,г). Из плана сил определяется реакция R₀₁:

R₀₁ = [R₀₁] × m_p.