Закон полного тока

 

Как известно, если по проводнику протекает электрический ток, то в пространстве возникает магнитное поле. Существование магнитного поля вокруг всякого проводника с током доказал в начале XIX века Эрстед. Закон полного тока выражает связь между электрическим током и порождаемым им магнитным полем.

Допустим, что имеется несколько проводников, по каждому из которых протекает соответствующий электрический ток (рис. 1.9) силой I₁, I₂, I₃,… I_N. Возьмем произвольный контур и охватим им проводники с током. Контур ограничивает поверхность S. Выберем направление обхода контура. Для этого предварительно на воображаемой площади S произвольно выберем элементарную площадку , к которой восстановим единичный нормальный вектор . Направление обхода контура выберем так, чтобы оно совпадало с вращательным движением правовинтового буравчика при условии, что поступательное движение буравчика совпадает с направлением вектора нормали , восстановленного к площадке (рис. 1.9).

 

 

Рис. 1.9. Контур L, охватывающий проводники с током

 

Добавим, что рассматриваемая совокупность токов имеет дискретный характер, т.к. состоит из отдельных проводников, по которым текут токи. Электрический ток может иметь также непрерывный характер и представлять собой, например, направленный поток электронов.

Закон полного тока выражает связь между силой протекающего суммарного тока через замкнутый контур длиной L и напряженностью магнитного поля, которое порождается этим током.

В интегральной форме закон полного тока выражается формулой

, (1.40)

где – вектор напряженности магнитного поля, – направленный элементарный линейный участок, взятый вдоль контура, – суммарная сила тока. Интеграл произведения по замкнутому контуру называется циркуляцией вектора .

Отметим: если контур охватывает непрерывный пространственный поток движущихся заряженных частиц с плотностью электрического тока , то сила полного тока, пронизывающего контур, определяется выражением

 

. (1.41)

Произведение выражает поток вектора плотности тока , пронизывающего поверхность dS.

Часто на практике для решения задач следует применять дифференциальную форму закона полного тока. Для записи закона полного тока в дифференциальной форме необходимо интеграл по замкнутому контуру L (циркуляцию вектора ) выразить через интеграл по площади S, которую охватывает замкнутый контур. Для этого воспользуемся теоремой Стокса, которая в векторном анализе выражается равенством:

. (1.42)

Для нашего случая теорема Стокса запишется в виде

. (1.43)

Тогда формулу (1.40) преобразуем на основе выражений (1.42) и (1.43), вследствие чего получим соотношение

. (1.44)

Т.к. контур L взят произвольным образом, то интегралы в левой и правой частях равенства будут равны, если равны подынтегральные выражения. В результате запишем

. (1.45)

 

Формула (1.45) выражает закон полного тока в дифференциальной форме.

Рассмотрим пример расчета напряженности магнитного поля, созданного постоянным электрическим током, протекающим по прямолинейному проводнику. На рис.1.10 показан отрезок прямолинейного проводника, по которому протекает электрический ток силой I.

Рис. 1.10. Расположение силовых линий магнитного поля

 

Постоянный электрический ток силой I порождает постоянное магнитное поле, которое характеризуется напряженностью . Силовые линии напряженности магнитного поля представляют собой замкнутые окружности. Направление силовых линий напряженности для прямолинейного проводника с током определяют с помощью правила буравчика. Для этого вращаем правовинтовой буравчик по часовой стрелке таким образом, чтобы его поступательное движение совпадало с направлением движения электрического тока, тогда направление вращательного движения укажет направление силовой линии .

Закон полного тока в интегральной форме имеет вид . Силовая линия представляет собой окружность с центром, лежащем на оси проводника с током. Обозначим радиус окружности через r. Учтем, что во всех точках окружности (контура) напряженность поля имеет одно и то же значение, т.к. все радиальные направления равноправны. Поэтому циркуляцию вектора запишем в виде

. (1.46)

На основании закона полного тока циркуляция вектора равна протекающему току, т.е. имеем , отсюда выразим напряженность магнитного поля

 

. (1.47)

 

Таким образом, получили формулу для определения значения напряженности магнитного поля, созданного прямолинейным проводником, по которому протекает постоянный электрический ток силой I. Направление силовых линий определяют, как сказано выше, с помощью правила буравчика.

Направление вектора для любой точки пространства определяют с помощью касательной, проведенной в данной точке пространства к силовой линии.
На рис. 1.11 показано сечение проводника с силой тока I, текущего от нас (направление тока показано крестиком), и силовая линия , представляющая собой окружность радиуса r.

 

Рис. 1.11. Определение направления магнитного поля в конкретной точке

 

В точках A, C, D показано направление вектора . Значение напряженности магнитного поля является одинаковым, поэтому длина всех векторов , , также одинакова, а направления в конкретных рассматриваемых точках будут разными, т.к. направлены по касательным.