Неравноточные измерения

Измерения, выполненные с различной точностью, с неодинаковым числом равноточных наблюдений либо в различных условиях, называют неравноточными.

6.3.1 Понятие о весе независимых измерений. Общая арифметическая середина. Степень надежности результата измерений, выраженную числом, называют весом этого результата. Чем надежнее результат, тем больше его вес. Следовательно, вес связан с точностью результата измерения, которая характеризуется средней квадратической погрешностью. Поэтому вес результата измерения принимают равным величине, обратно пропорциональной квадрату средней квадратической погрешности измерения, т.е.

где С – постоянное число;

т – средняя квадратическая погрешность измерения.

Если имеются величины l₁, l₂, …, l_n со средними квадратическими погрешностями т₁, т₂, …, т_п, то их веса будут равны:

Для облегчения задачи отыскания весов обычно вес одного из результатов с погрешностью m принимают за единицу (т.е. m² = C) и относительно его вычисляют веса остальных результатов измерений. Тогда веса результатов наблюдений будут равны:

Отсюда

,

т.е. средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным единице, равна произведению средней квадратической погрешности любой измеренной величины на корень квадратный из его веса. Величина m называется средней квадратической погрешностью единицы веса.

Пусть в результате измерений величины получены ее значения l₁, l₂, …, l_n с весами р₁, р₂, …, р_п. Тогда окончательный (наиболее точный) результат из этих измерений может быть найден по формуле весового среднего или общей арифметической середины:

6.3.2 Средние квадратические погрешности единицы веса и общей арифметической середины. Если известны значения истинных погрешностей измерений d₁, d₂, …, d_n, то средняя квадратическая погрешность единицы веса определится по формуле

[pdd] = p₁d₁d₁ + p₂d₂d₂ + … + p_nd_nd_n

где п – число неравноточных измерений;

р₁, р₂, …, р_п – веса измерений.

Определив общую арифметическую середину и найдя уклонения от нее измеренных величин v_i = l_i – X, среднюю квадратическую погрешность единицы веса можно вычислить по общей формуле Бесселя:

Средняя квадратическая погрешность общей арифметической середины определится из выражения