Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число можно представить в виде упорядоченной пары -радиус- вектор на комплексной плоскости с началом в начале координат и с концом в точке . При этом радиус-вектор или комплексное число характеризуется модулем или длиной вектора = , с углом наклона к оси абсцисс. Будем называть главным значением аргумента или аргументом, если . Обозначается .

При этом положителен, если он отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки, и отрицателен, если наоборот. Ясно, что . Отсюда получаем тригонометрическую форму комплексного числа :

 

Используя разложение функций и в ряды Тейлора, можно показать, что

(формула Эйлера)

Если заданы и , то аргумент находится следующим образом:

Точка z лежит в первой четверти комплексной плоскости, . Тогда . Точка z лежит во второй четверти комплексной плоскости, . Тогда . Точка z лежит в третьей четверти комплексной плоскости, . Тогда . Точка z лежит в четвертой четверти комплексной плоскости, . Тогда .

Рассмотрим частные случаи:

Если , точка лежит на оси справа от начала координат, тогда . Если , точка лежит на оси выше начала координат, тогда . Если , точка лежит на оси слева от начала координат, тогда . Если , точка лежит на оси ниже начала координат, тогда .

Если, , точка лежит в четвертой четверти, . Если , точка лежит в первой четверти, . Если , точка лежит во второй четверти, . Если , точка лежит в четвертой четверти, . Если , точка лежит в третьей четверти, .

Можно показать, что, если , , то

 

,

 

в частности, если умножим число само на себя раз, получим формулу Муавра

 

 

Пример 10. Записать в тригонометрической форме числа

1) ; 2)

Решение. 1) . Отсюда

2) . Отсюда

В следующих двух примерах применим формулу Муавра.

Пример 11. Найти

Решение.

Пример 12. Найти

Решение. Имеем