Знакочередующиеся ряды
Ряд вида Признак Лейбница. Если члены ряда (5) по модулю монотонно убывают с ростом Пример. Даны числовые ряды: А) В) Выяснить характер сходимости этих рядов. Ответ. А сходится, В расходится. Решение. Для ряда А модулем общего члена ряда является Для ряда В модулем общего члена ряда является
Определение. Знакочередующийся ряд сходится абсолютно, если сходится ряд составленный из абсолютных значений его членов, то есть если сходится ряд Утверждение. Если знакочередующийся ряд сходится абсолютно, то он просто сходится, то есть справедлива схема:
Определение. Если ряд Пример. Укажите правильное утверждение относительно сходимости знакочередующихся рядов: А) Обоснование.
|
, где 
(5) называется знакочередующимся рядом.
, то есть 
, начиная с некоторого n и 
, то ряд (5) сходится. Если нарушено хотя бы одно из указанных условий, то ряд расходится.
. Ясно, что он монотонно уменьшается, начиная с n=1, 
. Условия признака Лейбница выполнены, следовательно ряд А сходится.
. Очевидно, что второе условие признака Лейбница не выполнено, так как 
, следовательно ряд В расходится.
.
-сходится 
- сходится
сходится, а ряд 
сходится условно.
и В) 
. Ответ. А расходится, В сходится условно.
, то есть нарушено второе условие признака Лейбница, следовательно ряд А расходится. Относительно ряда В). Так как коэффициенты 
убывают монотонно с ростом 
и 
, то есть выполнены оба условия признака Лейбница, ряд В) сходится. Но ряд 
расходится, следовательно ряд В) сходится условно.
