Понятие определённого интеграла, свойства, основные правила и приемы интегрирования.

Пусть определена на сегменте

Определение. Разбиение сегмента задано, если заданы точки такие, что

Обозначим через длину частичного сегмента Максимальную из этих длин обозначим которую назовём диаметром разбиения В частичном сегменте выберем произвольную точку

Определение. Выражение называется интегральной суммой и обозначается

Определение. Число называется пределом интегральных сумм при стремлении диаметра разбиений к нулю, если для любого существуют такие что из условия при любом выборе промежуточных точек следует неравенство . При этом пишут

Определение. Функция называется интегрируемой на сегменте если для этой функции существует предел её интегральных сумм при стремлении диаметра разбиений к нулю.

Число называется определённым интегралом от функции в пределах от а до в и обозначается

Числа и – пределы интегрирования ( – нижний предел, – верхний предел).

Примечание. Переменную х под знаком определённого интеграла

можно заменить на любую другую переменную: и т.д.

Теорема. Если функция непрерывна на сегменте , то она интегрируема на нём.

Пример. 1. Путь S, пройденный точкой за время со скоростью , есть S= .

2. Работа А, совершаемая над материальной точкой переменной силой f(x), есть .

3. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком неотрицательной непрерывной функции ,

снизу – осью Ох, с боков – прямыми равна