Элементы операционного исчисления

Определение. Преобразованием Лапласа функции называется интеграл и обозначается . Таким образом,

 

, где

- действительная переменная, - комплексная переменная. При этом функция называется оригиналом, -изображением.

Условия, которым должен удовлетворять оригинал :

1) при

2) Не иметь знаменатель, который обращается в ноль. Например, функция не может быть оригиналом.

3) С возрастанием модуль функции не может расти быстрее некоторой показательной функции, то есть, , где .

Например, функция не может быть оригиналом, так как при любых числах , данная функция растет быстрее чем функция , то есть нарушается условие (3).

 

Свойство линейности изображения

 

Обозначим .Пусть оригиналы и имеют изображения и . Тогда . Таким образом, изображением суммы является .

Пример 1. Найти изображение функции .

Решение. Имеем . Таким образом, изображением функции является так, как изображением 1 согласно таблице является , а изображением является .

Пример 2. Найти изображение функции 3.

Решение. Имеем . Таким образом, изображением функции является .

Пример 3. Какой оригинал соответствует изображению .

Решение. Согласно (4) таблицы изображений имеем при оригинал вида

Пример 4. Найти изображение решения задачи Коши:

Решение. Имеем , где

или . Отсюда находим : ,

. Ответ:

Пример5. Записать в изображениях решение задачи Коши вида

 

Решение. Имеем

Далее , . Отсюда

Ответ

 

Таблица изображений

 

Nпп	Оригинал	Изображение
	-производная	, где -изображение
	-вторая производная	, где -изображение
	- третья производная
	- -я производная