Знакоположительные числовые ряды
Определение. Числовой ряд Рассмотрим знакоположительный ряд вида Ряд Примеры сходящихся рядов: Примеры расходящихся рядов: Примечание: По отношению к ряду не изменяется, то есть, он сходится, если Рассмотрим ряд вида где
При этом числа Например
Утверждение. Если то ряд (2) сходится, в противном случае, то есть когда то ряд (2) расходится. Пример. Ряд
Пример. Ряд Пример. Ряд Пример. Пример. Пример. Найти Решение.
Признак сравнения. Пусть даны два знакоположитедьных ряда A) Если Пример. Указать сходящиеся числовые ряды.
1) Решение. Для сравнения возьмем ряд
Ряд (3) расходится так,как С использованием признака сравнения заключение о характере сходимости ряда проводится следующим образом: в многочленах и при
|
называется знакоположительным, если все 
.
. (1)
сходится, если 
и расходится, если 
.
, 
.
.
при 
заключение о его поведении
, (2)
- многочлен степени m относительно переменного натурального n с действительными коэффициентами 
,
- многочлен степени k относительно переменного натурального n c действительными коэффициентами 
неотрицательные целые числа, не равные одновременно нулю.
- многочлен степени 3, 
- многочлен степени 4.
, (3)
, (4)
расходится, так как 
и выполнено условие (4).
сходится, так как 
и выполнено условие (3).
сходится, так как 
и выполнено условие (3).
расходится, так как 
и выполнено условие (4).
расходится, так как 
и выполнено условие (4).
.
В) 
.
, где 
, то ряды А и В сходятся или расходятся одновременно.
2) 
3) 
4) 
. Ясно, что в (1) надо взять 
, в (2) надо взять 
, в (3) надо взять 
, в (4) надо взять 
. Это делается из следующих соображений: В (1) отбрасывается слагаемое 
, в (2) отбрасывается -4, в (3) отбрасывается 
в (4) отбрасывается 
. После этого остаются ряды 
,
, 
, 
, 
, 
, 
. Отсюда ряд (1) сходится так как, 
. Ряд (2) расходится так,как 
.
. Ряд (4) сходится так,как 
.
и 
оставим старшие члены, то есть слагаемые 
и 
. В результате получим ряд 
, где 
- постоянная. Отсюда при 
или то же самое 
или 
