Определения ограниченности множества
Рассмотрим некоторое непустое подмножество X множества
Множество X, не являющееся ограниченным сверху, называется неограниченным сверху множеством, то есть
Множество X, не являющееся ограниченным снизу, называется неограниченным снизу множеством, то есть
Множество, не являющееся ограниченным, называют неограниченным множеством, т. е. неограниченное множество является неограниченным сверху или неограниченным снизу или неограниченным и сверху и снизу. Пример 1 (описания ограниченности множеств) 1) 2) сверху и снизу: Замечание (к определениям ограниченности множества)
|
.
называют ограниченным сверху множеством, если $ число 
, такое что для 
выполняется неравенство 
:
(1)
Число b называется в этом случае числом, ограничивающим сверху множество X.
называют ограниченным снизу множеством, если $ число 
, такое что для 
:
(2)
Число a называется в этом случае числом, ограничивающим снизу множество X.
(3)
. (1')
. (2')
— неограниченное множество, т. к. ограничено снизу (
), но не является ограниченным сверху;
— ограничено, так как ограничено и
.
, 
, 
,… Поэтому все числа a, ограничивающие это множество снизу, образуют множество 
.
