Точная верхняя и точная нижняя грани множества
По этому определению имеем, что число β; = sup X, если выполняются следующие два условия:
Аналогично, число
На рисунках 25 и 26 введены обозначения: множество Учитывая этот разбор, можно записать наряду с данным выше описательным определением и формальное определение точных граней множества:
Пример 2 (определение точных граней множества) 1) 2) 3) 4)
|
ограничено сверху. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху это множество, называют точной верхней гранью множества (или просто верхней гранью) и обозначают
sup X (supremum — наибольший).
Если множество 
Рис. 25
, если выполняются условия:
– это множество всех чисел, ограничивающих Х сверху, и множество 
– это множество всех чисел, ограничивающих Х снизу. Очевидно, что 
и 
, но 
и 
для 
и для 
.
— ограничено сверху и снизу,
— ограничено сверху и снизу,
выполняется неравенство 
множество является ограниченным; sup X = 1, inf X = 0;
— ограниченное множество, sup X = 3, inf X = –3;
— ограниченное множество, sup X = inf X = 5.
