Определение отображения множествНаряду с понятиями множества и элемента множества в математике первичным понятием является понятие соответствия. Это понятие присутствует неявным образом при описании понятия множества: каждому из элементов поставлено в соответствие некоторое свойство, позволяющее судить о том, является ли этот элемент элементом данного множества или нет. Среди всевозможных соответствий важнейшими в математике являются функции, или отображения множеств.
Иллюстрация к понятию отображения множества X в множество Y, то есть к понятию функции приведена на рис. 28.
Пример 1 (соответствия, не являющиеся функциями)
Обозначения для отображения множеств, или функции Отображение множеств, или функция обозначается одним из следующих способов:
При этом элемент называется независимой переменной, или аргументом функции; соответствующий ему элемент называется зависимой переменной; говорят, что между элементами x и y существует функциональная зависимостьf. Множество X называется множеством задания функцииf (или множеством определения f). Множество тех элементов , каждый из которых поставлен в соответствие хотя бы одному элементу , называется множеством значений функцииf и обозначается : . Очевидно, что , то есть множество значений функции является подмножеством множества Y, в частности, может совпадать с Y. Пример 2 (отображение множеств) 1) X — множество треугольников на плоскости, Y — множество положительных действительных чисел; площадь треугольника S — это есть функция, определенная на множестве X и принимающая значения в множестве Y, или отображение множества X в множество Y, то есть ; если Р – это периметр треугольника, то ;
2) функция :
3) функция :
4) последовательность с общим членом есть функция, отображающая множество натуральных чисел в множество действительных чисел ; например, : ; 5) функция Дирихле: .
|