Обратное отображение

Пусть имеем отображение общего вида , причем , где , (рис. 33).

Рис. 33

Если рассмотреть отображение , то оно называется обратным отображением по отношению к отображению . Понятно, что обратное отображение является, вообще говоря, многозначным.

Если отображение является взаимно однозначным (биективным), то обратное ему отображение является также взаимно однозначным отображением множества на множество X, (рис. 34); в этом случае обратное отображение определяет функцию , которая называется обратной функцией по отношению к функции .

Рис. 34

если — биекция, то — тоже биекция.

Очевидно, что функция является обратной по отношению к функции , а обе эти функции f и называются взаимно обратными функциями.

Пример 5 (взаимно обратные функции)

1)		и ;
2)		и .

Подробнее о взаимно обратных функциях изложено в §8 данного конспекта.

Суперпозиция отображений (сложная функция)

Если заданы два отображения и , то отображение , ставящее в соответствие любому элементу единственный элемент , называется суперпозицией отображений f и g(другие названия: композиция отображений, сложное отображение).

Иллюстрация к сложному отображению приведена на рис. 35.

Рис. 35

Обозначение суперпозиции отображений: или .

Пример 6 (сложные отображения)

1)

;

 

2)

 

Запись сложных отображений как сложных функций:

.

Сложное отображение (сложная функция) может получаться суперпозицией любого количества отображений.

Пример 7 (составление сложных функций)

1) — сложная функция

;

 

2)

 

3)

,

.