Теорема о существовании точных граней ограниченного множества
w Пусть
Если По свойству непрерывности множества Но так как Поэтому по определению точной верхней грани множества получается, что Вторая часть теоремы доказывается аналогичным образом. v Замечание (к понятию точных граней множества) 1. Для неограниченных сверху множеств часто записывают « 2. Если Аналогично, если Пример 3 (определение максимума и минимума множества) 1) 2)
3)
|
ограничено сверху, 
.
Рис. 27
и 
, то из определения числа, ограничивающего множество сверху, следует, что 
и это верно для 
.
заключаем, что существует число b, такое что выполняется неравенство 
для 
и для 
.
ограничивает Х сверху; так как 
для 
, то b является наименьшим среди всех чисел, ограничивающих множество Х сверху.
, ч. т. д.
», а для неограниченных снизу – «
».
, то обозначается 
, то есть если точная верхняя грань множества принадлежит этому множеству, то она называется максимумом множества.
, то обозначается 
, то есть если точная нижняя грань множества принадлежит этому множеству, то она называется минимумом множества.
;
min A не существует;
max B и min B не существуют.
